Esboce os gráficos de: 
 
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede para esboçar o gráfico da função 
 . Vamos abordar isso usando conceitos de cálculo e análise de funções. Precisaremos analisar o domínio da função, interceptos, derivadas para encontrar pontos críticos e entender o comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos o logaritmo natural 
 , sabemos que 
  precisa ser maior que zero. Assim, o domínio é 
 .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos.
- 
Interseção com o eixo y: Para encontrar quando
, mas como o domínio é , não há interseção com o eixo y.  - 
Interseção com o eixo x: Ocorre quando
. Então: Isso acontece quandoou . Resolvendo: Novamente,não está no domínio, então a única raiz é . Resolvendo: Portanto, a função intercepta o eixo x em.  
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas para estudar o comportamento da função e encontrar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Primeiro, a derivada de 
  em relação a 
 :
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Fatorando:
Como 
 , a solução 
  não é válida. Então, precisamos resolver:
Esta equação não tem solução analítica fácil, então podemos usar métodos numéricos ou gráfico para aproximar os valores de 
  onde isso ocorre.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento assintótico da função.
Para 
  tendendo a 
 :
- 
tende a  - 
tende a 
Então,tende a  
Para 
  tendendo a 
 :
- 
tende a  - 
tende a 
Então,tende a , que também tende a  
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é 
 - Passa pelo ponto 
 - Para 
próximo de 0, tende a  - Para 
grande, tende a  - Há pontos críticos onde a derivada é zero, indicando possíveis máximos ou mínimos locais
 
Resposta
O gráfico de 
  possui domínio para 
 , intercepta o eixo x em 
 , tende a 
  conforme 
  se aproxima de 0 e para valores grandes de 
 . Apresenta pontos críticos que indicam máximos e mínimos locais, cujo posicionamento pode ser determinado numericamente.