Esboce o LGR e determine a faixa de valores de K para a estabilidade do sistema com realimentação unitária mostrado no exercício 2:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}-2 s+2\right)}{s(s+1)(s+2)}

Passo 1

O enunciado dá a função em malha aberta com ganho K:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}-2 s+2\right)}{s(s+1)(s+2)}.
O que se pede:
  • Esboçar o Lugar das Raízes (LGR) do sistema com realimentação unitária (ou seja, do polinômio característico 1+G(s)=0).
  • Determinar a faixa de valores de K para a qual o sistema em malha fechada é estável (todas as raízes com parte real negativa).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Polos abertos: s=0,\; s=-1,\; s=-2 (são os pólos do denominador).
  • Zeros abertos: raízes de s^{2}-2s+2, que são s=1\pm j (duas raízes complexas com parte real positiva).
  • O número de polos n=3 e o número de zeros finitos m=2. Portanto haverá n-m=1 assimptota.

Passo 2

Marcação de polos e zeros e regra básica do LGR:
  • Colocar no eixo complexo os polos em 0,\,-1,\,-2 (marcados com \times) e os zeros em 1\pm j (marcados com \circ).
  • Regra do eixo real: um ponto real do eixo pertence ao LGR se o número de polos e zeros (reais) à direita desse ponto for ímpar.
    • Para s>0: à direita não há polos/zeros reais \Rightarrow não está no LGR.
    • Para -1<s<0: à direita está apenas o polo em 0 \Rightarrow 1 (ímpar) \Rightarrow LGR neste intervalo.
    • Para -2<s<-1: à direita estão 0 e -1 \Rightarrow 2 (par) \Rightarrow sem LGR.
    • Para s<-2: à direita estão 0,-1,-2 \Rightarrow 3 (ímpar) \Rightarrow LGR neste intervalo.
  • Conclusão: segmentos reais do LGR em (-\infty,-2) e em (-1,0).

Passo 3

Número de ramos e destinos:
  • Existem n=3 ramos do LGR (cada pólo é início de um ramo).
  • Como há m=2 zeros finitos, dois ramos acabarão nestes zeros 1\pm j e o ramo restante irá para o infinito seguindo as assimptotas (uma assimptota porque n-m=1).

Passo 4

Cálculo da assimptota (ângulo e centroide):
  • Ângulos das assimptotas dados por \dfrac{(2q+1)\pi}{n-m}, com q=0,1,\dots. Aqui n-m=1, logo só há uma assimptota com ângulo
\frac{(2\cdot0+1)\pi}{1}=\pi \quad(\text{ou }180^\circ),
ou seja, aponta para a esquerda ao longo do eixo real.
  • Centroide das assimptotas:
\text{centroide}=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n-m}.
Somando polos: 0+(-1)+(-2)=-3. Somando zeros: para s^{2}-2s+2 a soma das raízes é 2. Assim
\text{centroide}=\frac{-3-2}{1}=-5.
Portanto a única assimptota parte de -5 e vai para a esquerda.

Passo 5

Comportamento qualitativo dos ramos (esboço verbal do LGR):
  • Dois ramos saem de s=0 e s=-1. Eles se encontram no segmento real (-1,0) num ponto de ruptura (breakaway), então seguem simetricamente pelo plano complexo até atingir os zeros em 1\pm j (note que esses zeros estão no semiplano direito, portanto os ramos atravessam o eixo imaginário para atingir os zeros se forem para a direita).
  • O terceiro ramo sai de s=-2 e tende para -\infty pelo eixo real, aproximando-se da assimptota que parte de -5 para 180^\circ.
  • Assim, conforme K aumenta a partir de zero, os pólos em 0 e -1 movem-se ao longo de (-1,0) até um ponto de breakaway; depois formam um par conjugado que pode cruzar o eixo imaginário mais adiante (isso é o que causa instabilidade). O ramo de -2 permanece à esquerda.

Passo 6

Cálculo do ponto de breakaway no eixo real (método de dK/ds=0):
  • Na curva do LGR, o ganho para um ponto s que satisfaz a condição de argumento é
K(s)=-\frac{D(s)}{N(s)}=-\frac{s(s+1)(s+2)}{s^{2}-2s+2}.
Pontos de breakaway/in (reunião/partida de ramos) em eixo real satisfazem \dfrac{dK}{ds}=0. Calcularemos explicitamente.
Defina A(s)=-s(s+1)(s+2)=-s^{3}-3s^{2}-2s e B(s)=s^{2}-2s+2. Assim
K(s)=\frac{A(s)}{B(s)}.
A condição \dfrac{dK}{ds}=0
A'(s)B(s)-A(s)B'(s)=0.
Calcule as derivadas:
A'(s)=-3s^{2}-6s-2,\qquad B'(s)=2s-2.
Substituindo e desenvolvendo (passo a passo de multiplicações e somas) chega-se à equação polinomial
s^{4}-4s^{3}-2s^{2}+12s+4=0.
Procuramos raízes reais neste polinômio localizadas no intervalo (-1,0). Avaliando numericamente e fazendo iteração simples encontra-se uma raiz
s\approx -0,328\\ (\text{aprox. }-0,3283).
  • Agora calculamos K nesse ponto:
K=-\frac{s(s+1)(s+2)}{s^{2}-2s+2}.
Substituindo s\approx -0,3283 obtemos
K_{\text{break}}\approx 0,133\\ (\text{aprox. }0{,}133).
Interpretação: para 0<K<K_{\text{break}} os polos em 0 e -1 permanecem reais (um entre -1 e 0); em K=K_{\text{break}} ocorre o ponto de breakaway; para K>K_{\text{break}} esses polos formam um par complexo conjugado e deslocam-se pelo plano.

Passo 7

Equação característica em malha fechada e estabilidade via Routh (método prático para determinar faixa de K):
  • A equação característica é
1+G(s)=0 \quad\Rightarrow\quad s(s+1)(s+2)+K(s^{2}-2s+2)=0.
Expandindo:
s^{3}+3s^{2}+2s + K(s^{2}-2s+2)=0.
Juntando termos em potências de s:
s^{3}+(3+K)s^{2}+(2-2K)s + 2K = 0.
Chamemos os coeficientes:
a_3=1,\quad a_2=3+K,\quad a_1=2-2K,\quad a_0=2K.

Passo 8

Montagem e análise da tabela de Routh para o polinômio cúbico:
  • Tabela de Routh (coluna esquerda mostrada explicitamente):
\begin{array}{c|cc} s^{3} & 1 & 2-2K\\hline s^{2} & 3+K & 2K\\hline s^{1} & b_1 & 0\\hline s^{0} & 2K & \end{array}
onde
b_1=\frac{(3+K)(2-2K)-1\cdot(2K)}{3+K}=\frac{6-6K-2K^{2}}{3+K}.
  • Condições de estabilidade (todas as entradas da primeira coluna positivas):
    1. 1>0 — sempre satisfeito.
    2. 3+K>0 \Rightarrow K>-3 (comum assumirmos K\ge 0 fisicamente).
    3. b_1>0. Como 3+K>0 para K>-3, basta exigir o numerador positivo:
    6-6K-2K^{2}>0 \quad\Leftrightarrow\quad 2K^{2}+6K-6<0.
    1. 2K>0 \Rightarrow K>0.
  • Resolver 2K^{2}+6K-6<0. As raízes da igualdade são
K=\frac{-6\pm\sqrt{36+48}}{4}=\frac{-6\pm 2\sqrt{21}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}.
A inequação quadrática é negativa entre as raízes, logo
\frac{-3-\sqrt{21}}{2}<K<\frac{-3+\sqrt{21}}{2}.
A raiz negativa \dfrac{-3-\sqrt{21}}{2} é aproximadamente -3{,}79 e a raiz positiva é
K_{\text{crit}}=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\approx 0{,}7913.
Combinando com K>0 obtemos
0<K<\frac{-3+\sqrt{21}}{2}.

Passo 9

Interpretação final e pontos marginais:
  • Para K=0 o sistema tem um pólo em s=0 (marginalmente estável), portanto não é estritamente estável.
  • Para 0<K<K_{\text{crit}}, com K_{\text{crit}}=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}, todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh são positivos e, portanto, todas as raízes têm parte real negativa: sistema estritamente estável.
  • Em K=K_{\text{crit}} ocorre uma travessia do eixo imaginário por um par conjugado (raízes em s=\pm j\omega com \omega\approx 0{,}646), logo o sistema é marginalmente estável nessa fronteira.
  • Para K>K_{\text{crit}} o par conjugado passa para o semiplano direito e o sistema torna-se instável.

Resposta

0<K<\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}\approx 0{,}7913

Exercícios relacionados