Esboce o LGR e determine a faixa de valores de K para a estabilidade do sistema com realimentação unitária mostrado no exercício 2:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}-2 s+2\right)}{s(s+1)(s+2)}
G(s)=\frac{K\left(s^{2}-2 s+2\right)}{s(s+1)(s+2)}
Passo 1
O enunciado dá a função em malha aberta com ganho
:
O que se pede:
- Esboçar o Lugar das Raízes (LGR) do sistema com realimentação unitária (ou seja, do polinômio característico
). - Determinar a faixa de valores de
para a qual o sistema em malha fechada é estável (todas as raízes com parte real negativa).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Polos abertos:
(são os pólos do denominador). - Zeros abertos: raízes de
, que são (duas raízes complexas com parte real positiva). - O número de polos
e o número de zeros finitos . Portanto haverá assimptota.
Passo 2
Marcação de polos e zeros e regra básica do LGR:
- Colocar no eixo complexo os polos em
(marcados com ) e os zeros em (marcados com ). - Regra do eixo real: um ponto real do eixo pertence ao LGR se o número de polos e zeros (reais) à direita desse ponto for ímpar.
- Para
: à direita não há polos/zeros reais não está no LGR. - Para
: à direita está apenas o polo em 1 (ímpar) LGR neste intervalo. - Para
: à direita estão e 2 (par) sem LGR. - Para
: à direita estão 3 (ímpar) LGR neste intervalo.
- Para
- Conclusão: segmentos reais do LGR em
e em .
Passo 3
Número de ramos e destinos:
- Existem
ramos do LGR (cada pólo é início de um ramo). - Como há
zeros finitos, dois ramos acabarão nestes zeros e o ramo restante irá para o infinito seguindo as assimptotas (uma assimptota porque ).
Passo 4
Cálculo da assimptota (ângulo e centroide):
- Ângulos das assimptotas dados por
, com . Aqui , logo só há uma assimptota com ângulo
ou seja, aponta para a esquerda ao longo do eixo real.
- Centroide das assimptotas:
Somando polos:
. Somando zeros: para
a soma das raízes é
. Assim
Portanto a única assimptota parte de
e vai para a esquerda.
Passo 5
Comportamento qualitativo dos ramos (esboço verbal do LGR):
- Dois ramos saem de
e . Eles se encontram no segmento real num ponto de ruptura (breakaway), então seguem simetricamente pelo plano complexo até atingir os zeros em (note que esses zeros estão no semiplano direito, portanto os ramos atravessam o eixo imaginário para atingir os zeros se forem para a direita). - O terceiro ramo sai de
e tende para pelo eixo real, aproximando-se da assimptota que parte de para . - Assim, conforme
aumenta a partir de zero, os pólos em e movem-se ao longo de até um ponto de breakaway; depois formam um par conjugado que pode cruzar o eixo imaginário mais adiante (isso é o que causa instabilidade). O ramo de permanece à esquerda.
Passo 6
Cálculo do ponto de breakaway no eixo real (método de
):
- Na curva do LGR, o ganho para um ponto
que satisfaz a condição de argumento é
Pontos de breakaway/in (reunião/partida de ramos) em eixo real satisfazem
. Calcularemos explicitamente.
Defina
e
. Assim
A condição
dá
Calcule as derivadas:
Substituindo e desenvolvendo (passo a passo de multiplicações e somas) chega-se à equação polinomial
Procuramos raízes reais neste polinômio localizadas no intervalo
. Avaliando numericamente e fazendo iteração simples encontra-se uma raiz
- Agora calculamos
nesse ponto:
Substituindo
obtemos
Interpretação: para
os polos em
e
permanecem reais (um entre
e
); em
ocorre o ponto de breakaway; para
esses polos formam um par complexo conjugado e deslocam-se pelo plano.
Passo 7
Equação característica em malha fechada e estabilidade via Routh (método prático para determinar faixa de
):
- A equação característica é
Expandindo:
Juntando termos em potências de
:
Chamemos os coeficientes:
Passo 8
Montagem e análise da tabela de Routh para o polinômio cúbico:
- Tabela de Routh (coluna esquerda mostrada explicitamente):
onde
-
Condições de estabilidade (todas as entradas da primeira coluna positivas):
-
— sempre satisfeito. -
(comum assumirmos fisicamente). -
. Como para , basta exigir o numerador positivo:
-
.
-
-
Resolver
. As raízes da igualdade são
A inequação quadrática é negativa entre as raízes, logo
A raiz negativa
é aproximadamente
e a raiz positiva é
Combinando com
obtemos
Passo 9
Interpretação final e pontos marginais:
- Para
o sistema tem um pólo em (marginalmente estável), portanto não é estritamente estável. - Para
, com , todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh são positivos e, portanto, todas as raízes têm parte real negativa: sistema estritamente estável. - Em
ocorre uma travessia do eixo imaginário por um par conjugado (raízes em com ), logo o sistema é marginalmente estável nessa fronteira. - Para
o par conjugado passa para o semiplano direito e o sistema torna-se instável.