Esboce o LGR para os sistemas abaixo:
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: esboçar o Lugar das Raízes (LGR) do sistema com função de laço aberto
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+1\right)}{s^{2}}.
Informações dadas (pego do enunciado):
  • O ganho proporcional é K (parâmetro real, normalmente consideramos K\ge 0).
  • A função G(s) tem pólos e zeros que vamos identificar para construir o LGR.
Pergunta clara: desenhar (esboçar) o LGR em função de K (i.e., como se movem as raízes do polinômio característico quando K varia).

Passo 2

Localizar pólos e zeros de G(s) (etapa básica e essencial).
  • Zeros: resolver s^{2}+1=0. Logo os zeros são \;s=\pm j.
  • Pólos: resolver denominador s^{2}=0. Logo há um pólo duplo em \;s=0 (dois pólos coincidentes em zero).
Conclusão deste passo:
  • Número de pólos n=2 (contando multiplicidade).
  • Número de zeros m=2.
  • Como n=m, cada ramo do LGR parte de um pólo e termina em um zero (não há ramos que vão para o infinito), portanto NÃO haverá assimptotas para o infinito.

Passo 3

Relembrando: o LGR mostra onde ficam as raízes da equação característica do sistema em malha fechada quando K varia. A equação característica é
1+G(s)=0.
Vamos escrever essa equação e manipular para encontrar explicitamente as raízes em função de K.
Começando da definição:
1+\frac{K(s^{2}+1)}{s^{2}}=0.
Multiplicando ambos os lados por s^{2} (isso é válido porque tratamos de localização dos polos fechados, e depois analisamos soluções):
s^{2}+K\left(s^{2}+1\right)=0.
Agrupando termos em s^{2}:
(1+K)s^{2}+K=0.
Isolando s^{2}:
s^{2}=-\frac{K}{1+K}.
Tomando raiz quadrada:
s=\pm j\sqrt{\frac{K}{1+K}}.
Explicação do que isso significa:
  • Aqui s é a posição dos polos em malha fechada (variável complexa).
  • A expressão mostra que s é puramente imaginário para K>0, porque o lado direito é negativo real e a raiz dá j vezes algo real não-negativo.
  • Definindo \omega=\sqrt{\dfrac{K}{1+K}} (a parte imaginária positiva), obtemos s=\pm j\omega.

Passo 4

Interpretar a expressão encontrada para descrever o LGR e sua variação com K.
Da expressão
s=\pm j\sqrt{\frac{K}{1+K}},
temos as seguintes propriedades (explicadas passo a passo):
  • Quando K=0: \sqrt{\dfrac{K}{1+K}}=0, logo s=0. Isso corresponde aos pólos iniciais (pólo duplo em zero).
  • Quando K\to\infty: \dfrac{K}{1+K}\to 1, logo s\to\pm j. Isso corresponde aos zeros em \pm j — os ramos terminam exatamente nos zeros quando K\to\infty.
  • Para todo K>0 a quantidade \sqrt{\dfrac{K}{1+K}} varia monotonicamente de 0 a 1. Portanto as raízes em malha fechada percorrem o eixo imaginário puro, de 0 até \pm j, à medida que K cresce de 0 a \infty.
Outra forma útil de escrever a relação (inversão para ver o parâmetro em termos de \omega):
  • Se escrevermos s=j\omega com \omega>0, da equação característica obtemos
K=\frac{\omega^{2}}{1-\omega^{2}}.
Dessa expressão se vê que para K>0 é necessário 1-\omega^{2}>0, isto é \omega^{2}<1 (portanto 0<\omega<1). Isso confirma que os polos fechados ficam no segmento do eixo imaginário com |\Im(s)|<1, ligando 0 a \pm j.

Passo 5

Verificação de outras regras do LGR e comportamento dinâmico (para você aplicar na prova e justificar o esboço):
  • Simetria: o LGR é simétrico em relação ao eixo real (aqui é simétrico em torno da origem pois os polos fechados são \pm j\omega).
  • Segmentos no eixo real: não há segmentos no eixo real do LGR porque todos os pólos/zeros estão no eixo imaginário.
  • Pontos de quebra (breakaway/break-in): não há, pois cada ramo vai direto do pólo em 0 até um zero finito em \pm j, sem necessidade de ir para o infinito nem se dividir em ramos adicionais.
  • Estabilidade: para K>0 todos os polos fechados estão sobre o eixo imaginário (não têm parte real negativa), então o sistema é marginalmente estável (os modos são puramente oscilatórios); não há deslocamento para parte esquerda do plano para nenhum K>0.

Passo 6

Como esboçar na prática (instruções rápidas para a prova, passo a passo):
  1. Marque dois pólos em s=0 (um pólo duplo).
  2. Marque dois zeros em s=+j e s=-j.
  3. Desenhe dois ramos do LGR saindo de s=0 ao longo do eixo imaginário: um ramo vai para cima até s=+j, o outro vai para baixo até s=-j.
  4. Indique a direção com setas: para K crescendo de 0 a \infty, os pontos começam em 0 e vão em direção a \pm j.
  5. Se quiser pontos numéricos como referência, calcule por exemplo:
    • K=1 s=\pm j\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\pm j0{,}707.
    • K=3 s=\pm j\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\pm j0{,}866.
    • K\to\infty s\to\pm j1.

Resposta

LGR: dois ramos ao longo do eixo imaginário, saindo do pólo duplo em s=0 e terminando nos zeros em s=\pm j. As posições dos polos em malha fechada são
s=\pm j\sqrt{\frac{K}{1+K}},\quad K\in[0,\infty),
ou seja, os polos percorrem o segmento imaginário entre 0 e \pm j quando K cresce de 0 a \infty.

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