Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 1\right\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • É dada a superfície S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\ z\ge 1\}.\n
  • O enunciado pede dois itens: esboçar mentalmente/geométricamente essa superfície e apresentar uma parametrização dela, indicando claramente o domínio dos parâmetros.\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • A equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 é a esfera centrada na origem com raio 2.\n
  • A condição z\ge 1 seleciona a parte da superfície da esfera que fica acima (ou igual) ao plano z=1; portanto trata‑se de uma “tampa” ou calota esférica (spherical cap).

Passo 2

Entendendo a geometria (esboço mental):\n
  • A esfera tem raio 2 e centro na origem, então seu ponto mais alto é (0,0,2) e o mais baixo é (0,0,-2).\n
  • Intersecção com o plano z=1: substituir z=1 em x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
x^{2}+y^{2}+1^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=3.
  • Logo a fronteira da calota (a curva de contorno) é o círculo de raio \sqrt{3} no plano z=1, centrado na origem projetado nos eixos x,y.\n
  • Assim S é a porção da superfície esférica que vai do polo norte (0,0,2) até a circunferência de raio \sqrt{3} em z=1.

Passo 3

Escolha do método de parametrização e por quê:\n
  • A escolha natural é usar coordenadas esféricas porque a superfície é parte de uma esfera de raio fixo; isto simplifica muito a fórmula da parametrização.\n
  • Também é útil apresentar, como alternativa, a parametrização pela coordenada angular azimutal \theta e pela coordenada z (tipo cilíndrica) — às vezes em prova pedem essa forma porque é mais direta para integrar em z.

Passo 4

Revisão rápida das coordenadas esféricas e conversão (aula curta):\n
  • Nas coordenadas esféricas usuais usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta onde:\n
    • \rho é a distância ao origem (raio), \rho\ge0.\n
    • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para o polo norte +z).\n
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (como em coordenadas polares), variando ao redor do eixo z.\n
  • As fórmulas de conversão são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • No nosso caso a esfera tem raio fixo \rho=2, então qualquer ponto da esfera pode ser escrito por
(x,y,z)=(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi).

Passo 5

Determinar o domínio de \varphi usando a condição z\ge 1:\n
  • Na parametrização esférica temos z=2\cos\varphi.\n
  • A condição z\ge 1 torna-se
2\cos\varphi\ge 1\quad\Longleftrightarrow\quad \cos\varphi\ge \tfrac{1}{2}.
  • Resolve-se \cos\varphi\ge \tfrac{1}{2} dando \varphi\le \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right).\n
  • Como \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3}, o intervalo para \varphi é
0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3}.
  • Para \theta percorremos todo o círculo em volta do eixo z, então
0\le \theta\le 2\pi.

Passo 6

Escrever explicitamente a parametrização (forma principal):\n
  • Uma parametrização conveniente \mathbf{r}(\varphi,\theta) é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr),
com domínio dos parâmetros
0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
  • Verificações rápidas: \varphi=0 (0,0,2) (polo norte); \varphi=\tfrac{\pi}{3} z=2\cos(\pi/3)=1 e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2\sin(\pi/3)=2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}, que é o círculo limite em z=1.

Passo 7

Parametrização alternativa (usando \theta e z, forma cilíndrica), útil na prática:\n
  • Resolver x^{2}+y^{2}=4-z^{2} e escrever em coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta com r=\sqrt{4-z^{2}}.\n
  • Assim uma parametrização alternativa é
\mathbf{R}(z,\theta)=\bigl(\sqrt{4-z^{2}}\cos\theta,\;\sqrt{4-z^{2}}\sin\theta,\;z\bigr),
com domínio
1\le z\le 2,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
  • Essa forma deixa z explícito e é prática quando se quer integrar em z primeiro.

Passo 8

Observações finais e dica para prova:\n
  • Ambas as parametrizações descrevem a mesma calota esférica; escolha a que tornar a conta (por exemplo de integrais de superfície) mais simples.\n
  • Lembre: incluir as extremidades dos intervalos ( \varphi=\tfrac{\pi}{3} ou z=1) corresponde ao contorno circular da calota — em problemas de superfície isso geralmente é incluído, a menos que explicitamente peçam a superfície aberta.

Resposta

\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(2\sin\varphi\cos\theta,\;2\sin\varphi\sin\theta,\;2\cos\varphi\bigr),\quad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3},\\\ 0\le \theta\le 2\pi\n
Alternativa:\n
\mathbf{R}(z,\theta)=\bigl(\sqrt{4-z^{2}}\cos\theta,\;\sqrt{4-z^{2}}\sin\theta,\;z\bigr),\quad 1\le z\le 2,\\\ 0\le \theta\le 2\pi

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