Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- É dada a superfície
.\n - O enunciado pede dois itens: esboçar mentalmente/geométricamente essa superfície e apresentar uma parametrização dela, indicando claramente o domínio dos parâmetros.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n - A equação
é a esfera centrada na origem com raio .\n - A condição
seleciona a parte da superfície da esfera que fica acima (ou igual) ao plano ; portanto trata‑se de uma “tampa” ou calota esférica (spherical cap).
Passo 2
Entendendo a geometria (esboço mental):\n
- A esfera tem raio
e centro na origem, então seu ponto mais alto é e o mais baixo é .\n - Intersecção com o plano
: substituir em dá
- Logo a fronteira da calota (a curva de contorno) é o círculo de raio
no plano , centrado na origem projetado nos eixos .\n - Assim
é a porção da superfície esférica que vai do polo norte até a circunferência de raio em .
Passo 3
Escolha do método de parametrização e por quê:\n
- A escolha natural é usar coordenadas esféricas porque a superfície é parte de uma esfera de raio fixo; isto simplifica muito a fórmula da parametrização.\n
- Também é útil apresentar, como alternativa, a parametrização pela coordenada angular azimutal
e pela coordenada (tipo cilíndrica) — às vezes em prova pedem essa forma porque é mais direta para integrar em .
Passo 4
Revisão rápida das coordenadas esféricas e conversão (aula curta):\n
- Nas coordenadas esféricas usuais usamos três variáveis
onde:\n -
é a distância ao origem (raio), .\n -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para o polo norte ).\n -
é o ângulo azimutal no plano (como em coordenadas polares), variando ao redor do eixo .\n
-
- As fórmulas de conversão são
- No nosso caso a esfera tem raio fixo
, então qualquer ponto da esfera pode ser escrito por
Passo 5
Determinar o domínio de
usando a condição
:\n
- Na parametrização esférica temos
.\n - A condição
torna-se
- Resolve-se
dando .\n - Como
, o intervalo para é
- Para
percorremos todo o círculo em volta do eixo , então
Passo 6
Escrever explicitamente a parametrização (forma principal):\n
- Uma parametrização conveniente
é
com domínio dos parâmetros
- Verificações rápidas:
dá (polo norte); dá e , que é o círculo limite em .
Passo 7
Parametrização alternativa (usando
e
, forma cilíndrica), útil na prática:\n
- Resolver
e escrever em coordenadas polares no plano : com .\n - Assim uma parametrização alternativa é
com domínio
- Essa forma deixa
explícito e é prática quando se quer integrar em primeiro.
Passo 8
Observações finais e dica para prova:\n
- Ambas as parametrizações descrevem a mesma calota esférica; escolha a que tornar a conta (por exemplo de integrais de superfície) mais simples.\n
- Lembre: incluir as extremidades dos intervalos (
ou ) corresponde ao contorno circular da calota — em problemas de superfície isso geralmente é incluído, a menos que explicitamente peçam a superfície aberta.
Resposta
Alternativa:\n