Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}=4,0 \leq z \leq 2+\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar e parametrizar a superfície S, indicando o domínio dos parâmetros.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A superfície é o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}=4,\;0\le z\le 2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2}\}.
  • Ou seja, os pontos (x,y) estão sobre a circunferência de raio 2 no plano z-fixo, e para cada ponto dessa circunferência o z varia entre 0 (base) e a altura dada pela função z=2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2} (topo, que é um plano inclinado).
O que precisamos entregar:
  • Um esboço/descrição geométrica do conjunto S.
  • Uma parametrização \mathbf{r}(t,s) que gere exatamente todos os pontos de S.
  • O domínio dos parâmetros (intervalos de t e s).

Passo 2

Entendendo geometricamente: a equação x^{2}+y^{2}=4 é uma circunferência de raio 2 no plano z= constante (é a interseção de um cilindro circular reto de raio 2 com qualquer plano horizontal). Como o enunciado permite z variar entre 0 e um valor que depende de x,y, cada ponto (x,y) dessa circunferência gera um segmento vertical de z que vai de 0 até o valor do plano z=2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2}. Portanto, S é a “fita” lateral do cilindro de raio 2 preenchida verticalmente até um topo inclinado: imagine a circunferência no plano z=0 e, em cada ponto dela, subir até a altura dada pelo plano inclinado; o resultado é uma superfície que é o conjunto de todos esses segmentos verticais sobre a circunferência.
Esboço mental (descrição): uma circunferência de raio 2 ao redor do eixo z; em cada ponto da circunferência há um segmento vertical que começa em z=0 e termina na superfície do plano z=2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2}. O topo não é horizontal: é um plano inclinado que toca a circunferência.

Passo 3

Escolha natural de parâmetros:
  • Use o parâmetro angular t para percorrer a circunferência x^{2}+y^{2}=4. A parametrização da circunferência (no plano xy) é a clássica:
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,
com t variando em um intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo t\in[0,2\pi].
  • Para a coordenada vertical use um parâmetro s que represente a altura z ao longo do segmento vertical em cada ponto da circunferência. Então tome simplesmente
z=s,
com s variando de 0 até o valor do plano no ponto (x,y).
Substituindo x e y em 2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2} obtemos o limite superior de s em função de t:
2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2}=2+\cos t-\sin t.
Portanto, para cada t o s deve satisfazer 0\le s\le 2+\cos t-\sin t.

Passo 4

Escrevendo a parametrização final (forma direta):
\mathbf{r}(t,s)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;s\bigr),
com domínio dos parâmetros
t\in[0,2\pi],\qquad 0\le s\le 2+\cos t-\sin t.
Explicação de por que isso funciona: para qualquer (x,y,z)\in S tem-se (x,y) sobre a circunferência de raio 2, então existe t tal que x=2\cos t, y=2\sin t; o valor z está entre 0 e 2+\tfrac{x}{2}-\tfrac{y}{2}=2+\cos t-\sin t, então escolhendo s=z obtemos precisamente \mathbf{r}(t,s)=(x,y,z). Assim a parametrização é sobrejetora em S.

Passo 5

Observação útil sobre o domínio: é bom verificar que o limite superior de s é sempre não negativo (para que o intervalo 0\le s\le 2+\cos t-\sin t faça sentido). Calcule o mínimo de 2+\cos t-\sin t:
\cos t-\sin t=\sqrt{2}\cos\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{4}\bigr),
logo
\min_{t}(2+\cos t-\sin t)=2-\sqrt{2}>0.
Portanto o limite superior é sempre positivo e o intervalo para s é bem definido para todo t.

Passo 6

Forma alternativa (às vezes prática para integrais): em vez de s variar até um valor dependente de t, usar um parâmetro \lambda\in[0,1] que parametriza a posição ao longo do segmento vertical (interpolação entre a base e o topo). Defina
\mathbf{r}(t,\lambda)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;\lambda\bigl(2+\cos t-\sin t\bigr)\bigr),
com
t\in[0,2\pi],\qquad \lambda\in[0,1].
Aqui \lambda=0 z=0 e \lambda=1 z=2+\cos t-\sin t. Essa forma é útil quando se quer um domínio retangular [0,2\pi]\times[0,1].

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t,s)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;s\bigr),\quad t\in[0,2\pi],\;0\le s\le 2+\cos t-\sin t.
\displaystyle \text{Alternativa: }\mathbf{r}(t,\lambda)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;\lambda(2+\cos t-\sin t)\bigr),\quad t\in[0,2\pi],\;\lambda\in[0,1].

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