Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar e parametrizar a superfície
, indicando o domínio dos parâmetros.
Informações dadas pelo enunciado:
- A superfície é o conjunto
- Ou seja, os pontos
estão sobre a circunferência de raio no plano -fixo, e para cada ponto dessa circunferência o varia entre (base) e a altura dada pela função (topo, que é um plano inclinado).
O que precisamos entregar:
- Um esboço/descrição geométrica do conjunto
. - Uma parametrização
que gere exatamente todos os pontos de . - O domínio dos parâmetros (intervalos de
e ).
Passo 2
Entendendo geometricamente: a equação
é uma circunferência de raio
no plano
constante (é a interseção de um cilindro circular reto de raio
com qualquer plano horizontal). Como o enunciado permite
variar entre
e um valor que depende de
, cada ponto
dessa circunferência gera um segmento vertical de
que vai de
até o valor do plano
. Portanto,
é a “fita” lateral do cilindro de raio
preenchida verticalmente até um topo inclinado: imagine a circunferência no plano
e, em cada ponto dela, subir até a altura dada pelo plano inclinado; o resultado é uma superfície que é o conjunto de todos esses segmentos verticais sobre a circunferência.
Esboço mental (descrição): uma circunferência de raio
ao redor do eixo
; em cada ponto da circunferência há um segmento vertical que começa em
e termina na superfície do plano
. O topo não é horizontal: é um plano inclinado que toca a circunferência.
Passo 3
Escolha natural de parâmetros:
- Use o parâmetro angular
para percorrer a circunferência . A parametrização da circunferência (no plano ) é a clássica:
com
variando em um intervalo de comprimento
, por exemplo
.
- Para a coordenada vertical use um parâmetro
que represente a altura ao longo do segmento vertical em cada ponto da circunferência. Então tome simplesmente
com
variando de
até o valor do plano no ponto
.
Substituindo
e
em
obtemos o limite superior de
em função de
:
Portanto, para cada
o
deve satisfazer
.
Passo 4
Escrevendo a parametrização final (forma direta):
com domínio dos parâmetros
Explicação de por que isso funciona: para qualquer
tem-se
sobre a circunferência de raio
, então existe
tal que
,
; o valor
está entre
e
, então escolhendo
obtemos precisamente
. Assim a parametrização é sobrejetora em
.
Passo 5
Observação útil sobre o domínio: é bom verificar que o limite superior de
é sempre não negativo (para que o intervalo
faça sentido). Calcule o mínimo de
:
logo
Portanto o limite superior é sempre positivo e o intervalo para
é bem definido para todo
.
Passo 6
Forma alternativa (às vezes prática para integrais): em vez de
variar até um valor dependente de
, usar um parâmetro
que parametriza a posição ao longo do segmento vertical (interpolação entre a base e o topo). Defina
com
Aqui
dá
e
dá
. Essa forma é útil quando se quer um domínio retangular
.