(2.0) Esboce a região definida pelos sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l} x+y+1 \leq 0 \\\ (x+1)^{2}+(y-1)^{2} \geq 9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região do plano que satisfaz simultaneamente
x + y + 1 \le 0
e
(x+1)^{2} + (y-1)^{2} \ge 9.
O conteúdo é geometria analítica: um semiplano e o exterior de um círculo. Vamos analisar cada inequação e depois intersectar as regiões.

Passo 2

A inequação
x + y + 1 \le 0
define um semiplano cujo limite é a reta
x + y + 1 = 0,
que tem coeficiente angular -1 e intercepto em (0,-1). Para saber de que lado sombrear, teste o ponto (0,0):
0 + 0 + 1 = 1 > 0,
logo (0,0) NÃO está na região. Portanto sombreia-se o lado oposto a (0,0), isto é, o semiplano “abaixo” (ou “à esquerda”) da reta.

Passo 3

A inequação
(x+1)^{2} + (y-1)^{2} \ge 9
é a parte externa (incluindo a fronteira) do círculo de centro (-1,1) e raio 3. Em outras palavras, todos os pontos cujo afastamento de (-1,1) é maior ou igual a 3.

Passo 4

Para esboçar a região:
  1. Desenhe a reta x+y+1=0 e sombreie o semiplano onde x+y+1\le0 (lado oposto ao ponto (0,0)).
  2. Desenhe a circunferência de centro (-1,1) e raio 3, e sombreie a parte externa dela (região onde (x+1)^2+(y-1)^2\ge9).
  3. A região pedida é a interseção das duas sombras: pontos que estão ao mesmo tempo no semiplano x+y+1\le0 e fora (ou sobre) do círculo.

Resposta

A região é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x+y+1\le0,\;(x+1)^2+(y-1)^2\ge9\},
isto é, a parte do semiplano abaixo de x+y+1=0 que fica fora (ou sobre) da circunferência de centro (-1,1) e raio 3.

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