Questão 1

Considere as retas r:\left\{\begin{array}{c}x=12 \\\ y=t+5 \\\ z=t\end{array}\right. e s: \frac{x-12}{5}=y=z e o plano \pi: 5 x-y+z-5=0. Considere B e C as intersecções de r com os planos coordenados xz e xy respectivamente. É INCORRETO afirmar que:
A) B=(12,0,-5) e C=(12,5,0).
D) As retas r e s são reversas.
E) A interseção entre a reta s e o plano \pi é dada pelo ponto A=(5,-11,-11).

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\begin{cases} x=12,\\\ y=t+5,\\\ z=t \end{cases}
a reta
s:\frac{x-12}{5}=y=z
e o plano
\pi:5x - y + z -5=0.
Define-se B como interseção de r com o plano y=0 (plano xz) e C como interseção de r com o plano z=0 (plano xy). Precisamos verificar as três afirmações e achar qual é incorreta.

Passo 2

Para encontrar B fazemos y=0 em r:
t+5=0\implies t=-5,
então
x=12,\quad y=0,\quad z=t=-5,
logo
B=(12,0,-5).
Para C fazemos z=0 em r: t=0, então
x=12,\quad y=0+5=5,\quad z=0,
logo
C=(12,5,0).
Portanto a afirmativa A é correta.

Passo 3

O vetor diretor de r é \vec v_r=(0,1,1) e de s é \vec v_s=(5,1,1). Elas não são paralelas (não são múltiplos). Para ver se se intersectam, igualamos
x_r=12=x_s=12+5u\implies u=0,
o que daria y_s=0, z_s=0. Mas em r nunca temos (y,z)=(0,0). Logo não se intersectam nem são paralelas, ou seja, são reversas (skew). A afirmativa D é correta.

Passo 4

Para achar s\cap\pi, usamos a parametrização de s:
x=12+5u,\quad y=u,\quad z=u
e substituímos em \pi:
5(12+5u)-u+u-5=0\implies 60+25u-5=0\implies 25u=-55\implies u=-\tfrac{11}{5}.
Então
x=12+5\bigl(-\tfrac{11}{5}\bigr)=1,\quad y=-\tfrac{11}{5},\quad z=-\tfrac{11}{5}.
Logo o ponto de interseção é
\bigl(1,-\tfrac{11}{5},-\tfrac{11}{5}\bigr)
e não (5,-11,-11). Portanto a afirmativa E é incorreta.

Resposta

E) A interseção entre a reta s e o plano \pi não é (5,-11,-11).

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