Esboçe a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y^{2}=2 x e x^{2}=2 y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região fechada pelas curvas \;y^{2}=2x\ (parábola com eixo horizontal) e \;x^{2}=2y\ (parábola com eixo vertical).
O conteúdo aqui é “área entre curvas no plano” e vamos precisar
  1. Encontrar as interseções.
  2. Determinar, para 0\le y\le y_{\rm max}, qual curva fornece o x da esquerda e qual fornece o x da direita.
  3. Montar e calcular a integral \int (x_{\rm direita}-x_{\rm esquerda})\,dy.

Passo 2

Encontrando as interseções:
De y^{2}=2x vem x=y^{2}/2. Substituindo em x^{2}=2y
\bigl(\tfrac{y^{2}}{2}\bigr)^{2}=2y \;\Longrightarrow\; \tfrac{y^{4}}{4}=2y \;\Longrightarrow\; y^{4}-8y=0 \;\Longrightarrow\; y(y^{3}-8)=0
Logo y=0 ou y=2.
Para y=0 temos x=0; para y=2 temos x=2^{2}/2=2.
As interseções são (0,0) e (2,2).

Passo 3

Para 0\le y\le2 a curva x^{2}=2y x=\sqrt{2y}, que é a fronteira direita, e a curva y^{2}=2x
x=\frac{y^{2}}{2},
que é a fronteira esquerda.
Portanto a área procurada é
A=\int_{y=0}^{2}\Bigl[\sqrt{2y}-\frac{y^{2}}{2}\Bigr]\,dy.

Passo 4

Calculemos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2}\sqrt{2y}\,dy =\sqrt{2}\int_{0}^{2}y^{1/2}\,dy =\sqrt{2}\,\biggl[\frac{y^{3/2}}{3/2}\biggr]_{0}^{2} =\sqrt{2}\,\frac{2}{3}\,2^{3/2} =\frac{8}{3}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy =\frac{1}{2}\,\biggl[\frac{y^{3}}{3}\biggr]_{0}^{2} =\frac{1}{2}\,\frac{8}{3} =\frac{4}{3}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
A =\frac{8}{3}-\frac{4}{3} =\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}.

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