Esboce a região de integraçalo e mude a ordem de integraçalo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar a região de integração e mudar a ordem dos integrais da integral dupla:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e das técnicas para mudar a ordem de integração. Vamos precisar entender como a região está definida e então reorganizar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos 
  variando de 0 a 3. Para cada valor de 
 , 
  varia de 
  até 
 .
Vamos analisar as funções que definem os limites de 
 :
- 
e : - Essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, então 
.  - Resolvendo 
, vemos que isso ocorre para .  
 - Essa expressão está dentro de uma raiz quadrada, então 
 - 
e : - Aqui, também temos uma raiz quadrada, então 
.  - Resolvendo 
dá , que é aproximadamente 1.732.  
 - Aqui, também temos uma raiz quadrada, então 
 
Então, a verdadeira região de integração está quando ambas as condições são satisfeitas, ou seja, para 
 .
Passo 3
Vamos esboçar a região:
- 
vai de 0 a 1.  - Para cada 
, vai de a .  - Além disso, 
está limitado por a , mas para , será menor que , então os limites de são dominados por .  
Portanto, a região de integração é simétrica em relação ao eixo 
 , limitada inferiormente por 
  e superiormente por 
 , com 
  variando de 
  a 
 .
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, 
  está de 0 a 1, e para cada 
 , 
  vai de 
  a 
 .
Para inverter a ordem, precisamos determinar para um dado 
  quais são os valores de 
 .
Dado 
 , 
  deve satisfazer:
Isso implica que:
Resolvendo a inequação quadrática em 
 :
Para que haja soluções reais, precisamos que 
 , ou seja, 
 .
Então, para 
 , 
  varia de 
  a 
 .
Além disso, 
  também deve estar entre 0 e 1.
Passo 5
Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: