Esboce a região
delimitada pelas curvas
para
. Expresse por meio de integrais o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta indicada:
y=2
y=2
Passo 1
O enunciado nos pede o volume do sólido de revolução gerado ao girar em torno da reta
a região
limitada pelas curvas
O conteúdo principal aqui é o método dos anéis (ou “washers”) para volumes de revolução: precisamos achar os limites de integração, determinar qual curva fica mais próxima e mais distante de
, e montar a integral de volume.
Passo 2
Encontramos os pontos de interseção de
que leva a
logo
ou
. Assim a região
está entre
e
Passo 3
Para
vale
logo em cada
temos
A reta de rotação é
. As distâncias (raios) de cada curva até
são
Passo 4
Pelo método dos anéis, o diferencial de volume é
e o volume total é
Passo 5
Alternativa (método das cascas): use fatias horizontais. Para cada
entre
e
(já que em
temos
), a espessura é
, o raio da casca é
, e a “altura” da casca é
Logo
Resposta
ou, alternativamente,