Esboce a região R delimitada pelas curvas y=2 sen x, y=tan x para 0 <= x<pi / 2. Expresse por meio de integrais o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta indicada:
y=2

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido de revolução gerado ao girar em torno da reta y=2 a região R limitada pelas curvas
y=2sin x, y=tan x, 0<= x<tfracpi2
O conteúdo principal aqui é o método dos anéis (ou “washers”) para volumes de revolução: precisamos achar os limites de integração, determinar qual curva fica mais próxima e mais distante de y=2, e montar a integral de volume.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção de
2sin x=tan xLongrightarrow 2sin x=sin xcos x
que leva a
sin x,(2cos x-1)=0
logo x=0 ou cos x=tfrac12Rightarrow x=tfracpi3. Assim a região R está entre x=0 e x=tfracpi3

Passo 3

Para 0<x<tfracpi3 vale
2sin x>tan x,
logo em cada x temos
ysuperior=2sin x, yinferior=tan x
A reta de rotação é y=2. As distâncias (raios) de cada curva até y=2 são
Rexterno=2-l(tan xr), Rinterno=2-l(2sin xr)

Passo 4

Pelo método dos anéis, o diferencial de volume é
dV=pil[Rexterno^2-Rinterno^2r],dx
e o volume total é
V=integral0^pi/3pil[(2-tan x)^2-(2-2sin x)^2r],dx

Passo 5

Alternativa (método das cascas): use fatias horizontais. Para cada y entre y=0 e y=raiz3 (já que em x=pi/3 temos tan(pi/3)=raiz3), a espessura é dy, o raio da casca é |2-y|, e a “altura” da casca é
xdireita-xesquerda =arctan(y)-arcsin!l(tfrac y2r)
Logo
V =2piintegral0^raiz3(2-y)l[arctan(y)-arcsin!l(tfrac y2r)r],dy

Resposta

V =integral0^pi/3pil[(2-tan x)^2-(2-2sin x)^2r],dx
ou, alternativamente,
V =2piintegral0^raiz3(2-y)l[arctan(y)-arcsin!l(tfrac y2r)r],dy

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