Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Ache uma solução u0:[0, l] R de
c d^2 u0d x^2(x)=gc^2 u0(0)=u0(l)=0
em que gc^2 é uma constante.
b) Resolva o problema abaixo. Para tanto, suponha que a função u seja uma solução do problema. Determine a função v(t, x)=u(t, x)-u0(x) e obtenha u a partir de u0 e v.
c partial^2 upartial t^2(t, x)=c^2 partial^2 upartial x^2(t, x)-g, (t, x) in] 0, infty[times] 0, l[ u(t, 0)=u(t, l)=0, t>0 u(0, x)=0, x in] 0, l[ partial upartial t(0, x)=0, x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro (a) pede resolver a ODE
d^2u0dx^2(x)=gc^2, u0(0)=u0(l)=0,
que é um problema de contorno para uma equação de segunda ordem com termo constante. Depois (b) temos a PDE
partial^2upartial t^2(t,x) = c^2,partial^2upartial x^2(t,x)-g,
com condições de contorno homogêneas em x=0,l e condições iniciais nulas. Vamos primeiro achar a solução estacionária u0(x) e depois escrever u(t,x)=u0(x)+v(t,x), de modo que v satisfaça a onda homogênea.

Passo 2

Integramos a ODE duas vezes. Como
u0''(x)=gc^2,
temos
u0'(x)=gc^2,x + A, u0(x)=g2c^2,x^2 + A,x + B
Impondo u0(0)=0 segue B=0. Impondo u0(l)=0
g2c^2,l^2 + A,l = 0 Longrightarrow A = -g2c^2,l
Logo
boxed u0(x) =g2c^2l(x^2-l,xr)

Passo 3

Definimos
v(t,x)=u(t,x)-u0(x)
Como u0 não depende de t, temos partialt^2v=partialt^2u. Além disso
partialx^2u=partialx^2v+u0''. Substituindo na PDE de u:
vtt = c^2l(vxx+u0''r)-g = c^2vxx+c^2gc^2-g = c^2vxx
As condições de contorno tornam-se
v(t,0)=u(t,0)-u0(0)=0, v(t,l)=0,
e as iniciais
v(0,x)=u(0,x)-u0(x)= -u0(x), vt(0,x)=ut(0,x)=0
Portanto v satisfaz o problema de onda homogênea com contorno de Dirichlet e deslocamento inicial -u0(x).

Passo 4

A solução de
vtt=c^2vxx, v(t,0)=v(t,l)=0,
com
v(0,x)=-u0(x), vt(0,x)=0
obtém-se por separação de variáveis e expansão em senos:
v(t,x) =sumn=1^inftybn,cos!l(npi c,tlr) sin!l(npi xlr),
onde os coeficientes vieram da condição inicial em t=0:
bn =2lintegral0^lv(0,x),sin!l(npi xlr),dx =-2lintegral0^lu0(x),sin!l(npi xlr),dx

Passo 5

Recolocando u(t,x)=u0(x)+v(t,x), a solução completa é
boxed u(t,x) =g2c^2(x^2-l,x) +sumn=1^inftygl[ -2lintegral0^lu0(s), sin!l(npi slr),dsgr] cos!l(npi c,tlr) sin!l(npi xlr)
Isso resolve o problema completo usando a solução estacionária u0 e a superposição com o modo de oscilação v.

Resposta

a) u0(x)=g2c^2l(x^2-l,xr)
b) u(t,x)=u0(x)+sumn=1^inftybncos!l(tfracnpi c,tlr)sin!l(tfracnpi xlr), onde
bn=-2lintegral0^lu0(s)sin!l(tfracnpi slr),ds.

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