Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Ache uma solução de
em que é uma constante.
b) Resolva o problema abaixo. Para tanto, suponha que a função seja uma solução do problema. Determine a função e obtenha a partir de e .
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro (a) pede resolver a ODE
d^2u0dx^2(x)=gc^2, u0(0)=u0(l)=0,
que é um problema de contorno para uma equação de segunda ordem com termo constante. Depois (b) temos a PDE
com condições de contorno homogêneas em x=0,l e condições iniciais nulas. Vamos primeiro achar a solução estacionária u0(x) e depois escrever u(t,x)=u0(x)+v(t,x), de modo que v satisfaça a onda homogênea.
Passo 2
Integramos a ODE duas vezes. Como
u0''(x)=gc^2,
temos
u0'(x)=gc^2,x + A, u0(x)=g2c^2,x^2 + A,x + B
Impondo u0(0)=0 segue B=0. Impondo u0(l)=0 dá
g2c^2,l^2 + A,l = 0 Longrightarrow A = -g2c^2,l
Logo
boxed u0(x) =g2c^2l(x^2-l,xr)
Passo 3
Definimos
v(t,x)=u(t,x)-u0(x)
Como u0 não depende de t, temos partialt^2v=partialt^2u. Além disso partialx^2u=partialx^2v+u0''. Substituindo na PDE de u: