1. (a) Esboce a região R, delimitada pelas curvas y=x+6, y^2=x, y=3 e y=-2.
    (b) Calcule a área de R.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a região R delimitada pelas curvas
y = x + 6, y^2 = x, y = 3, y = -2
Isso é conteúdo de geometria analítica e cálculo de áreas por integração. Para esboçar R basta ver que, para cada y entre -2 e 3, as abscissas variam entre a reta x = y - 6 e a parábola x = y^2. Para calcular a área, usaremos a fórmula
Área(R) = integraly=-2^3l(xrm direita-xrm esquerdar),dy Á

Passo 2

Determinar qual é o “lado esquerdo” e qual é o “lado direito” em função de y.
– Reta: xrm reta=y-6
– Parábola: xrm para=y^2
Compare
y^2;-;(y-6);=;y^2 - y + 6
O discriminante de y^2 - y + 6=0 é 1 - 24=-23<0, logo y^2 - y + 6>0 para todo y. Assim y^2 > y-6 sempre, ou seja, para cada yin[-2,3], o lado esquerdo é x=y-6 e o direito é x=y^2.

Passo 3

Escrever a integral de área:
Área(R) =integraly=-2^3l(y^2 - (y-6)r),dy =integral-2^3l(y^2 - y + 6r),dy Á

Passo 4

Calcular a integral:
integrall(y^2 - y + 6r),dy =y^33-y^22+6y
Avalia em y=3 e y=-2:
Para y=3:
3^33-3^22+6cdot3 =9 - tfrac92 +18 = tfrac182 - tfrac92 + tfrac362 = tfrac452
Para y=-2:
(-2)^33-(-2)^22+6(-2) =-tfrac83-2-12 =-tfrac83-14 =-tfrac503
Então
Área(R) =452-l(-tfrac503r) =452+503 =135+1006 =2356 Á

Resposta

A área da região R é 2356

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