Seja R a região delimitada pelas curvas y=raiz[3]x e y=x4. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno
do eixo O X;

Passo 1

O enunciado nos dá a região R limitada pelas curvas
y = raiz[3]x, y = x4
no primeiro quadrante (pois só assim R é uma região finita acima de OX), e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno do eixo OX usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Para usar cascas horizontais, expressamos x em função de y. Da reta y = tfracx4 vem
x = 4y,
e da cúbica inversa y = raiz[3]x vem
x = y^3
Os pontos de interseção no primeiro quadrante ocorrem quando y^3 = 4y, ou seja y=0 e y=2. Logo y varia de 0 a 2.

Passo 3

Cada casca cilíndrica, a uma altura y, tem:
– raio =y,
– espessura dy,
– comprimento (altura da casca) dado pela diferença entre a abscissa da reta e a da cúbica, isto é
l(xdireita - xesquerdar) =4y - y^3
O elemento de volume é
dV = 2pi,( raio ),(comprimento),dy = 2pi,yl(4y - y^3r),dy

Passo 4

Integramos de y=0 até y=2:
V = 2pi integral0^2 yl(4y - y^3r),dy = 2pi integral0^2 l(4y^2 - y^4r),dy
Calculemos:
integral0^2 4y^2,dy = 4cdot y^33|0^2 = 4cdot 83 = 323,
integral0^2 y^4,dy = y^55|0^2 = 325
Logo
V = 2pil(323 - 325r) = 2picdot 160 - 9615 = 2picdot 6415 = 128pi15

Resposta

boxedV = 128pi15

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