Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raizx, x=y^3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas equações, e , e precisamos desenhar a região que está entre essas curvas. Depois, vamos expressar a integral dupla como duas integrais iteradas: uma na ordem e outra na ordem . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e de como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites da nossa região raizx = y e x = y^3 . Igualamos as duas equações:
x = (raizx)^3 Rightarrow x = x^3/2
Substituindo x^3/2 - x = 0 Rightarrow x(x^1/2 - 1) = 0 da primeira equação na segunda:
x = 0 ou x^1/2 = 1 Rightarrow x = 1
Agora, resolvemos:
Isso nos dá:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Vamos determinar qual curva está acima ou à direita da outra na região . Observando as equações:
  • Para :
    • está à esquerda de (ou seja, ).
Isso significa que, para cada entre 0 e 1, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^1 ( integral0^raizx f(x, y) , dy ) dx como integrais iteradas nas duas ordens solicitadas.
Ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^1 ( integraly^3^y^2 f(x, y) , dx ) dy :
Primeiro, determinamos os limites para em função de . Observando as curvas:
  • Para :
    • varia de a .
Portanto, a integral iterada fica:
Ordem :
Já determinamos que, para cada entre 0 e 1, varia de a . Então, a integral iterada fica:

Resposta

A integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^1 ( integral0^raizx f(x, y) , dy ) dx pode ser expressa como:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^1 ( integraly^3^y^2 f(x, y) , dx ) dy
e também como:

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