Calcule as integrais iteradas.
integral1^2 integral1-x^raizx x^2 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular uma integral iterada aqui: . Isso envolve entender integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é uma constante em relação a , então podemos mantê-la fora da integral.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de em relação a . A integral de é . Então, a antiderivada de é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de x^2 (raizx)^22 - x^2 (1 - x)^22 = x^2 cdot x2 - x^2 (1 - 2x + x^2)2 e x^32 - x^2 - 2x^3 + x^42 = x^32 - x^22 + x^3 - x^42 :
3x^32 - x^22 - x^42
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral1^2 ( 3x^32 - x^22 - x^42 ) dx de 1 a 2:
32 integral x^3 dx - 12 integral x^2 dx - 12 integral x^4 dx
Vamos integrar termo a termo:
32 cdot x^44 - 12 cdot x^33 - 12 cdot x^55 = 3x^48 - x^36 - x^510
As antiderivadas são:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 2:
( 3(2)^48 - (2)^36 - (2)^510 ) - ( 3(1)^48 - (1)^36 - (1)^510 )
Calculando cada parte:
Para 3 cdot 168 - 86 - 3210 = 6 - 43 - 165 :
6 = 9015, 43 = 2015, 165 = 4815
Convertendo para denominadores iguais:
9015 - 2015 - 4815 = 2215
Então:
3 cdot 18 - 16 - 110 = 38 - 16 - 110
Para 45120 - 20120 - 12120 = 13120 :
Convertendo para denominadores iguais (120):

Resposta

Subtraindo os resultados:
2215 - 13120 = 176120 - 13120 = 163120
Então, a integral iterada vale .

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