Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular uma integral iterada aqui:
. Isso envolve entender integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras grandezas em regiões bidimensionais. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
. Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos mantê-la fora da integral.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de
em relação a
. A integral de
é
. Então, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
e
:
Simplificando:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, temos que integrar essa expressão em relação a
de 1 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
As antiderivadas são:
Passo 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 1 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Convertendo para denominadores iguais:
Então:
Para
:
Convertendo para denominadores iguais (120):
Resposta
Subtraindo os resultados:
Então, a integral iterada vale
.