Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região
que é definida pelas equações
,
e
. Além disso, precisamos expressar a integral dupla
como uma integral iterada, primeiro com
e depois com
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e como definir os limites de integração para a região que estamos estudando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos a curva
, a reta vertical
(que é o eixo y) e a reta horizontal
. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Para encontrar a interseção de
e
, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se intersectam no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região
. A curva
começa na origem
e sobe até
. A reta
é o eixo y, e a reta
corta a curva no ponto
. Assim, a região
está limitada entre
e
, e entre
e
.
Passo 5
Vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com
. Para isso, primeiro fixamos y e depois x. Os limites para y vão de
até
. Para cada y, x varia de
até
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com
. Aqui, fixamos x primeiro e depois y. Os limites para x vão de
até
. Para cada x, y varia de
até
. Assim, a integral fica:
Resposta
A integral dupla
pode ser expressa como:
e como: