Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=x^3, x=0, y=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região que é definida pelas equações , e . Além disso, precisamos expressar a integral dupla como uma integral iterada, primeiro com e depois com . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e como definir os limites de integração para a região que estamos estudando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos a curva , a reta vertical (que é o eixo y) e a reta horizontal . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.

Passo 3

Para encontrar a interseção de x^3 = 8 implies x = 2 e , igualamos as duas equações:
Então, as curvas se intersectam no ponto .

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região . A curva começa na origem e sobe até . A reta é o eixo y, e a reta corta a curva no ponto . Assim, a região está limitada entre e , e entre e .

Passo 5

Vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^8 ( integral0^raiz[3]y f(x, y) , dx ) dy . Para isso, primeiro fixamos y e depois x. Os limites para y vão de até . Para cada y, x varia de até . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 ( integralx^3^8 f(x, y) , dy ) dx . Aqui, fixamos x primeiro e depois y. Os limites para x vão de até . Para cada x, y varia de até . Assim, a integral fica:

Resposta

A integral dupla integral0^8 ( integral0^raiz[3]y f(x, y) , dx ) dy pode ser expressa como:
integral0^2 ( integralx^3^8 f(x, y) , dy ) dx
e como:

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