Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
integral duplaR(x-y) d A; na região triangular de vértices (2,9),(2,1),(-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre uma região triangular específica. Nosso objetivo é calcular , onde é o triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender como transformar essa integral dupla em uma integral iterada, ou seja, uma integral que é feita em etapas, integrando primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Isso envolve entender os limites de integração para e dentro da região .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região para visualizar melhor. Temos os vértices em , e . Isso forma um triângulo onde a base está no eixo , de a , e o vértice superior está em , .

Passo 3

Agora, precisamos determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Entre e , a reta é horizontal, então . Entre e , a reta é vertical, então . E entre e , podemos encontrar a equação da reta.

Passo 4

Para encontrar a equação da reta entre m = 9 - 12 - (-2) = 84 = 2 e 1 = 2(-2) + b Rightarrow 1 = -4 + b Rightarrow b = 5 , usamos a f��rmula da inclinação:
Então, a equação da reta é . Substituindo :
Portanto, a equação da reta é .

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Podemos integrar integral duplaR(x - y) , dA = integralx=-2^2 integraly=1^2x + 5 (x - y) , dy , dx de até e de a . Então, temos:
Isso nos permite calcular a integral em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1^2x + 5 (x - y) , dy :
integral1^2x + 5 x , dy - integral1^2x + 5 y , dy
Isso pode ser separado em duas integrais:
x(y) |1^2x + 5 - y^22 |1^2x + 5
Integrando cada parte:
x(2x + 5 - 1) - (2x + 5)^2 - 12 = x(2x + 4) - (4x^2 + 20x + 25) - 12
Substituindo os limites:
2x^2 + 4x - 4x^2 + 20x + 242 = 2x^2 + 4x - 2x^2 - 10x - 12 = -6x - 12
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-2^2 (-6x - 12) , dx
Integrando em relação a -6 integral-2^2 x , dx - 12 integral-2^2 dx :
-6 ( x^22 |-2^2 ) - 12 (x |-2^2) = -6 ( 42 - 42 ) - 12 (2 - (-2)) = -6(0) - 12(4) = -48
Calculando cada parte:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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