Esboce a regiño cuja área é dada pela integral e calcule-a.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para gente desenhar a região onde a área é dada por uma integral dupla e, depois, calcular essa área. O conteúdo aqui é de Cálculo Integral em Coordenadas Polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais em coordenadas polares e como elas nos ajudam a calcular áreas de regiões circulares ou com simetria radial.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que a gente tem:
Aqui, estamos trabalhando em coordenadas polares, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo das .
Passo 3
A integral dupla em coordenadas polares para calcular uma área é geralmente escrita como:
O termo dentro da integral é o Jacobian, que ajusta a escala quando mudamos de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 4
Vamos identificar os limites da nossa integral:
vai de a . Isso significa que estamos olhando para a parte de baixo do círculo completo, já que é 180° e é 360°.
vai de 4 a . Ou seja, estamos considerando todas as distâncias entre 4 e a partir da origem.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
A antiderivada de em relação a é:
Então, substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa, que é em relação a integralpi^2 pi ( T^22 - 8 ) dtheta :
( T^22 - 8 ) cdot (theta) g|pi^2pi
Como é uma constante em relação a , a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de ( T^22 - 8 ) cdot (2pi - pi) = ( T^22 - 8 ) cdot pi :