Esboce as regioès delimitadas e calcular as respectivas arear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as regiões delimitadas pelas funções dadas e calcular as respectivas áreas. Vamos trabalhar com funções polinomiais e usar cálculo para encontrar a área entre elas. Precisaremos entender um pouco sobre integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as funções e as linhas que delimitam a região:
- Temos a função
definida por . Vamos reorganizar isso para encontrar : - Além disso, temos as linhas verticais
e , e a linha horizontal (que é o eixo x).
Passo 3
Agora, vamos esboçar essas curvas:
- A função
é uma parábola invertida que cruza o eixo y em e vai para conforme aumenta. - As linhas
e são linhas verticais que cortam o gráfico de . - A linha
é o eixo x.
Passo 4
Vamos identificar a área que queremos calcular. Ela está limitada pelas seguintes curvas:
- A curva
- O eixo x
- As linhas verticais
e
Como
é menor ou igual a zero para
, a área entre
e
será a área entre
e o eixo x.
Passo 5
Para calcular a área, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
No nosso caso,
, então a fórmula simplifica para:
Passo 6
Como
é negativo entre
e
, podemos retirar o valor absoluto invertendo a ordem:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Passo 8
Vamos calcular cada parte:
Então:
Simplificando:
Resposta
A área delimitada pelas curvas e linhas é de 46,4 unidades quadradas.