Esboce as regioès delimitadas e calcular as respectivas arear:
1 - f(x) = x^4, x = 1, x = 3, y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar as regiões delimitadas pelas funções dadas e calcular as respectivas áreas. Vamos trabalhar com funções polinomiais e usar cálculo para encontrar a área entre elas. Precisaremos entender um pouco sobre integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as funções e as linhas que delimitam a região:
  • Temos a função definida por . Vamos reorganizar isso para encontrar :
  • Além disso, temos as linhas verticais e , e a linha horizontal (que é o eixo x).

Passo 3

Agora, vamos esboçar essas curvas:
  • A função é uma parábola invertida que cruza o eixo y em e vai para conforme aumenta.
  • As linhas e são linhas verticais que cortam o gráfico de .
  • A linha é o eixo x.

Passo 4

Vamos identificar a área que queremos calcular. Ela está limitada pelas seguintes curvas:
  • A curva
  • O eixo x
  • As linhas verticais e
Como é menor ou igual a zero para , a área entre e será a área entre e o eixo x.

Passo 5

Para calcular a área, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Á
No nosso caso, , então a fórmula simplifica para:
Á

Passo 6

Como é negativo entre e , podemos retirar o valor absoluto invertendo a ordem:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Á

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Então:
Á
Simplificando:
Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas e linhas é de 46,4 unidades quadradas.

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