Esboce as regioès delimitadas e calcular as respectivas arear:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar as regiões delimitadas pelas curvas e calcular as respectivas áreas. As equações que vamos trabalhar são:
Então, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma dessas equações:
-
: Essa é uma função que descreve uma curva. Conforme aumenta, cresce rapidamente, então diminui. -
: Essa é a linha vertical que representa o eixo . -
: Outra linha vertical, mas passando por . -
: Essa é a linha horizontal que representa o eixo .
Passo 3
Vamos esboçar essas curvas para visualizar as regiões delimitadas:
-
: Começa em e desce à medida que aumenta. -
e : Delimitam verticalmente entre e . -
: O eixo serve como limite inferior.
Isso forma uma região fechada entre
e
, de cima para baixo pela curva
e de baixo pelo eixo
.
Passo 4
Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
, com
e
.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, não precisamos nos preocupar com a constante
.
Passo 7
Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.