Esboce os seguintes sinais (define bem as abscissas para alguns valores):
x(t)=\operatorname{sinc}(t / 2)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar dois sinais em [t):
  1. \displaystyle x(t)=\operatorname{sinc}\bigl(t/2\bigr)
  2. \displaystyle \operatorname{tri}(t)
Conteúdo: características básicas de sinais contínuos – a função sinc escalonada no eixo t e a função triangular padrão. Para isto, vamos precisar
  • da definição de \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u} com o valor contínuo em u=0;
  • da definição (\displaystyle \operatorname{tri}(t)= \begin{cases}1-|t|,&|t|\le1,\\\ 0,&|t|>1.\end{cases}]

Passo 2

Definição e zeros de x(t)=\operatorname{sinc}(t/2).
A função sinc é
\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u},
então, tomando u=t/2,
x(t)=\operatorname{sinc}\bigl(t/2\bigr) =\frac{\sin\bigl(\pi\,t/2\bigr)}{\pi\,t/2}.
Em particular:
  • No ponto t=0, usa‐se o limite \lim_{u\to0}\sinc(u)=1, logo x(0)=1.
  • Os zeros ocorrem quando \sin(\pi\,t/2)=0 com t/2\neq0, isto é,
t/2 = \pm1,\pm2,\pm3,\dots \quad\Longrightarrow\quad t = \pm2,\pm4,\pm6,\dots

Passo 3

Pontos notáveis de x(t).
Vamos calcular valores em alguns t:
  • t=0\colon x(0)=1.
  • t=\pm2\colon x(\pm2)=0.
  • t=\pm4\colon x(\pm4)=0.
  • Em t=1:
x(1)=\sinc\bigl(1/2\bigr) =\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2} =\frac{1}{\pi/2} =\frac{2}{\pi}\approx0{,}64.
  • Em t=3:
x(3)=\sinc\bigl(3/2\bigr) =\frac{\sin(3\pi/2)}{3\pi/2} =\frac{-1}{3\pi/2} =-\frac{2}{3\pi}\approx-0{,}21.
Com isso, a curva de x(t) passa por:
\begin{array}{c|ccccc} t & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\\ \hline x(t) & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \quad\text{e} \quad \begin{array}{c|ccc} t & -3 & -1 & 1 & 3 \\\ \hline x(t) & 0 & 0{,}64 & 0{,}64 & -0{,}21 \end{array}.
Entre esses pontos, x(t) oscila com decaimento de amplitude.

Passo 4

Esboço de \displaystyle \operatorname{tri}(t)\). Por definição, \[\operatorname{tri}(t)= \begin{cases} 1-|t|, & |t|\le1,\\\\ 0, & |t|>1. \end{cases}
Pontos chave:
\begin{array}{c|ccc} t & -1 & 0 & 1 \\\ \hline \operatorname{tri}(t) & 0 & 1 & 0 \end{array}
E é linear entre -1\] e \(0 subindo de 0 a 1, e de 0 a 1 decrescendo de 1 a 0. Para |t|>1, vale zero.

Passo 5

Descrição final dos esboços.
Para x(t)=\sinc(t/2):
  • Eixo horizontal marcado em \dots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots.
  • Pico principal em (0,1).
  • Zeros em t=\pm2,\pm4,\dots.
  • Primeira oscilação positiva em \pm1 com valor \approx0{,}64.
  • Primeira oscilação negativa em \pm3 com valor \approx-0{,}21.
  • Caimento gradual das amplitudes conforme t se afasta de zero.
Para \operatorname{tri}(t):
  • Eixo em -2,-1,0,1,2.
  • Segmento de reta ligando (-1,0) a (0,1).
  • Segmento de reta ligando (0,1) a (1,0).
  • Valor zero para |t|>1.

Resposta

Esboço dos sinais conforme descrito acima.

Exercícios relacionados