Esboce os seguintes sinais (define bem as abscissas para alguns valores):
x(t)=\operatorname{sinc}((t+1) / 2)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sinal
x(t)=\operatorname{sinc}\!\bigl(\tfrac{t+1}{2}\bigr)
para um aluno de nível superior. O conteúdo aqui é o conhecimento da função sinc, mais o efeito de escala no eixo-tempo (fator 1/2) e de translação (deslocamento em -1). Vamos (i) lembrar a definição de sinc, (ii) achar zeros e pico, (iii) calcular valores-chave e (iv) montar o esboço com abscissas bem definidas.

Passo 2

Definimos a versão normalizada da função sinc como
\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}\quad(u\neq0),\quad\operatorname{sinc}(0)=1.
Assim
x(t)=\operatorname{sinc}\!\Bigl(\frac{t+1}{2}\Bigr) =\frac{\sin\!\bigl(\pi\frac{t+1}{2}\bigr)}{\pi\frac{t+1}{2}}.

Passo 3

Os zeros de \operatorname{sinc}(u) ocorrem em u=n, n\in\mathbb Z\setminus\{0\}. Aqui u=(t+1)/2, logo
\frac{t+1}{2}=n\quad\Longrightarrow\quad t=2n-1,\quad n=\pm1,\pm2,\dots
Por exemplo, para n=1 t=1; para n=-1 t=-3; para n=2 t=3; etc.

Passo 4

O pico principal ocorre em (t+1)/2=0, isto é em t=-1, onde
x(-1)=\operatorname{sinc}(0)=1.

Passo 5

Para marcar abscissas intermediárias calculemos \tfrac{t+1}{2}=\pm\tfrac12,: isso dá t+1=\pm1, ou seja t=0 e t=-2. Nesses pontos
x(0)=x(-2)=\operatorname{sinc}\bigl(\tfrac12\bigr) =\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}\approx0{,}637.
Para \tfrac{t+1}{2}=\pm\tfrac32 (ou seja t+1=\pm3, t=2 e t=-4) temos
x(2)=x(-4)=\operatorname{sinc}\bigl(\tfrac32\bigr) =\frac{\sin(3\pi/2)}{3\pi/2}=-\frac{2}{3\pi}\approx-0{,}212.

Passo 6

Com pico em t=-1, zeros em t=2n-1 n\neq0 e os valores-calculados nos pontos t=-4,-2,0,2, montamos o esboço: há um lóbulo principal centrado em t=-1 de amplitude 1, que decresce até os zeros em -3 e 1, seguido por lóbulos secundários de amplitude decaindo e alternando sinal.

Passo 7

No esboço final, indique no eixo-t os pontos
t=-4,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2
com os valores
x(-1)=1,\quad x(-2)=x(0)=\tfrac{2}{\pi},\quad x(-4)=x(2)=-\tfrac{2}{3\pi},
e zilhares de lóbulos menores para |t| maiores.

Resposta

O gráfico de x(t)=\operatorname{sinc}\bigl(\tfrac{t+1}{2}\bigr) tem:
– pico único de valor 1 em t=-1;
– zeros em t=2n-1 n=\pm1,\pm2,\dots, ou seja nos primeiros em t=-3 e t=1;
– valores intermediários x(-2)=x(0)=2/\pi e x(-4)=x(2)=-2/(3\pi);
– lóbulos simétricos em torno de t=-1 com amplitude decrescente.

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