Uma escada de 10 metros está encostada em uma parede. Inicialmente, seu topo está a 8 metros de altura. A escada escorrega, e o topo desce pela parede com velocidade constante de
. Se
é o ângulo que a escada faz com o chão, determine a expressão de
e calcule a velocidade angular da escada no instante em que ela toca o chão.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
- Dados fornecidos:
- Comprimento da escada:
. - Altura inicial do topo da escada:
. - Velocidade vertical do topo (descendo) é constante: a velocidade é
para baixo.
- Comprimento da escada:
- Perguntas que o problema faz:
- Determinar a expressão de
, onde é o ângulo que a escada faz com o chão no instante . - Calcular a velocidade angular
no instante em que a escada toca o chão.
- Determinar a expressão de
- Observações úteis que vem do enunciado (sem resolver ainda):
- O topo desce com velocidade constante de
. Vou tratar isso como , tomando como a altura do topo (positiva para cima). - A escada tocar o chão é o instante em que
.
- O topo desce com velocidade constante de
Passo 2
Modelar a posição vertical do topo como função do tempo.
- O topo se move com velocidade vertical constante para baixo, então a altura
varia linearmente. Escreve-se a equação da posição inicial mais velocidade multiplicada por :
- Substituindo
e (negativo porque desce):
- Determinar o instante em que a escada toca o chão: resolver
:
Passo 3
Relacionar
com
usando trigonometria da escada apoiada no chão.
- Com o chão horizontal e a parede vertical, a projeção vertical do comprimento da escada é
. Portanto a altura do topo satisfaz
- Substituindo
:
- Isolando
(usar a função inversa seno, que é ; lembrar que para a configuração física a varia entre e , então é apropriado):
Passo 4
Substituir
para obter a expressão final de
.
- Comentário didático: a razão
é . A restrição no intervalo de vem porque depois de a escada já estará no chão e a fórmula (baseada na interpretação física) não se aplica para valores maiores.
Passo 5
Calcular a velocidade angular
. Dois jeitos equivalentes; explico os dois (para a prova escolha o que preferir).
Método A — derivada de
(cadeia):
- Regra: se
então
- Aqui
. Calcular :
- Substituindo na regra da cadeia:
- Simplificando um pouco:
Método B — diferenciação implícita (às vezes é mais rápido):
- Partir de
e derivar ambos os lados em relação a :
- Isolando
:
- Substituir
e, se necessário, usar . Isso leva à mesma fórmula do Método A:
Passo 6
Avaliar
no instante em que a escada toca o chão (
).
- No instante de toque,
(peguei isso da equação e resolvi ). Usando a forma simples do Método B:
pois
quando a escada está totalmente no chão.
- Portanto
- Interpretação: o sinal negativo indica que o ângulo está diminuindo com o tempo. O módulo
é a velocidade angular absoluta no instante do toque.