Uma escada de 10 metros está encostada em uma parede. Inicialmente, seu topo está a 8 metros de altura. A escada escorrega, e o topo desce pela parede com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se \theta(t) é o ângulo que a escada faz com o chão, determine a expressão de \theta(t) e calcule a velocidade angular da escada no instante em que ela toca o chão.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da escada: L=10\\ \mathrm{m}.
    • Altura inicial do topo da escada: y(0)=8\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade vertical do topo (descendo) é constante: a velocidade é 5\\ \mathrm{m/s} para baixo.
  • Perguntas que o problema faz:
    1. Determinar a expressão de \theta(t), onde \theta(t) é o ângulo que a escada faz com o chão no instante t.
    2. Calcular a velocidade angular \dfrac{d\theta}{dt} no instante em que a escada toca o chão.
  • Observações úteis que vem do enunciado (sem resolver ainda):
    • O topo desce com velocidade constante de 5\\ \mathrm{m/s}. Vou tratar isso como \dfrac{dy}{dt}=-5\\ \mathrm{m/s}, tomando y(t) como a altura do topo (positiva para cima).
    • A escada tocar o chão é o instante em que y(t)=0.

Passo 2

Modelar a posição vertical do topo como função do tempo.
  • O topo se move com velocidade vertical constante para baixo, então a altura y(t) varia linearmente. Escreve-se a equação da posição inicial mais velocidade multiplicada por t:
y(t)=y(0)+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)t.
  • Substituindo y(0)=8 e \dfrac{dy}{dt}=-5 (negativo porque desce):
y(t)=8-5t.
  • Determinar o instante em que a escada toca o chão: resolver y(t)=0:
8-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{8}{5}\\ \mathrm{s}=1{,}6\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Relacionar y(t) com \theta(t) usando trigonometria da escada apoiada no chão.
  • Com o chão horizontal e a parede vertical, a projeção vertical do comprimento da escada é L\sin\theta. Portanto a altura do topo satisfaz
y(t)=L\sin\big(\theta(t)\big).
  • Substituindo L=10:
y(t)=10\sin\big(\theta(t)\big).
  • Isolando \theta(t) (usar a função inversa seno, que é \arcsin; lembrar que para a configuração física a \theta(t) varia entre 0 e \pi/2, então \arcsin é apropriado):
\theta(t)=\arcsin\!\left(\dfrac{y(t)}{10}\right).

Passo 4

Substituir y(t)=8-5t para obter a expressão final de \theta(t).
\theta(t)=\arcsin\!\left(\dfrac{8-5t}{10}\right),\qquad 0\le t\le \dfrac{8}{5}.
  • Comentário didático: a razão \dfrac{8-5t}{10} é \sin\theta. A restrição no intervalo de t vem porque depois de t=8/5 a escada já estará no chão e a fórmula (baseada na interpretação física) não se aplica para valores maiores.

Passo 5

Calcular a velocidade angular \dfrac{d\theta}{dt}. Dois jeitos equivalentes; explico os dois (para a prova escolha o que preferir).
Método A — derivada de \arcsin (cadeia):
  • Regra: se \theta(t)=\arcsin(u(t)) então
\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{u'(t)}{\sqrt{1-u(t)^2}}.
  • Aqui u(t)=\dfrac{8-5t}{10}. Calcular u'(t):
u'(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{8-5t}{10}\right)=\dfrac{-5}{10}=-\tfrac{1}{2}.
  • Substituindo na regra da cadeia:
\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{-\tfrac{1}{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{8-5t}{10}\right)^2}}.
  • Simplificando um pouco:
\dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(8-5t)^2}{100}}} =-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{1}{10}\sqrt{100-(8-5t)^2}} =-\dfrac{5}{\sqrt{\,100-(8-5t)^2\,}}.
Método B — diferenciação implícita (às vezes é mais rápido):
  • Partir de y(t)=10\sin\theta(t) e derivar ambos os lados em relação a t:
\dfrac{dy}{dt}=10\cos\theta\cdot\dfrac{d\theta}{dt}.
  • Isolando \dfrac{d\theta}{dt}:
\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{1}{\cos\theta}.
  • Substituir \dfrac{dy}{dt}=-5 e, se necessário, usar \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\left(\dfrac{y}{10}\right)^2}. Isso leva à mesma fórmula do Método A:
\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{-5}{10\cos\theta}=-\dfrac{1}{2\cos\theta} =-\dfrac{5}{\sqrt{100-y(t)^2}}.

Passo 6

Avaliar \dfrac{d\theta}{dt} no instante em que a escada toca o chão ( t=\tfrac{8}{5}\\ \mathrm{s}).
  • No instante de toque, y=0 (peguei isso da equação y(t)=8-5t e resolvi y=0). Usando a forma simples do Método B:
\cos\theta(t_{\text{toque}})=\cos 0=1,
pois \theta=0 quando a escada está totalmente no chão.
  • Portanto
\left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=\tfrac{8}{5}}=-\dfrac{5}{10}=-\dfrac{1}{2}\\ \text{rad/s}.
  • Interpretação: o sinal negativo indica que o ângulo está diminuindo com o tempo. O módulo \tfrac{1}{2}\\ \text{rad/s} é a velocidade angular absoluta no instante do toque.

Resposta

\displaystyle \theta(t)=\arcsin\!\left(\dfrac{8-5t}{10}\right),\quad 0\le t\le \dfrac{8}{5}.\n \displaystyle \left.\dfrac{d\theta}{dt}\right|_{t=8/5}=-\dfrac{1}{2}\\ \text{rad/s}.

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