Uma câmera automatizada está instalada para filmar a base de lançamento de um foguete. Para simplificar o modelo, suponha que o foguete sobe verticalmente e que sua altura, em quilômetros, no instante
, é dada por uma função
. A câmera deve acompanhar o foguete durante sua ascensão, ajustando continuamente seu ângulo de inclinação
em relação ao solo. Sabendo que a câmera está a 10 km da base de lançamento, determine uma expressão para
em função de
. Além disso, determine uma expressão para a velocidade angular
da câmera em função de
e de
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo extraído do texto do problema):
- Informação 1: A câmera está a
km da base de lançamento (essa distância é horizontal, medida sobre o solo). - Informação 2: A altura do foguete, em km, no instante
é dada por uma função . - Pedido 1: Determinar uma expressão para o ângulo de inclinação da câmera
em função de . - Pedido 2: Determinar uma expressão para a velocidade angular
(derivada temporal de ) em função de e de .
Observação sobre notação e unidades:
-
é o ângulo entre a linha do solo e a linha de mira da câmera (em radianos, salvo indicação contrária). -
tem unidades de km, tem unidades de km/unidade de tempo (mesma unidade de tempo usada em ). - A distância horizontal fixa vale
km.
Passo 2
Montagem geométrica e interpretação: num instante
forma-se um triângulo retângulo cuja:
- cateto oposto ao ângulo
é (altura do foguete), - cateto adjacente é
(distância horizontal da câmera até a base).
A razão entre cateto oposto e adjacente é a tangente do ângulo. Logo, usando a função arco-tangente (inversa da tangente),
Explicando com calma:
. Tomando a função inversa
obtém-se
em termos de
. A resposta está em radianos por ser a convenção usual para derivadas angulares.
Passo 3
Regra para derivar uma função composta envolvendo
. Três ideias-chave:
- Derivada básica: para a função identidade
vale a fórmula conhecida (pode-se obter por diferenciação implícita):
Rápida justificativa: se
então
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
. Como
, chega-se a
.
- Regra da cadeia: se temos
então
Aqui
é a função interior e
sua derivada temporal.
- Aplicação ao nosso caso: tomar
. Então
Passo 4
Aplicando a fórmula da cadeia com
obtem-se inicialmente
Agora simplificamos essa fração passo a passo:
Substituindo no numerador:
Portanto a velocidade angular fica expressa por essa função de
e
. Observação de unidades: se
está em km/s (por exemplo), então
estará em rad/s, porque a expressão é adimensional no numerador/denominador após as divisões por km.