Uma câmera automatizada está instalada para filmar a base de lançamento de um foguete. Para simplificar o modelo, suponha que o foguete sobe verticalmente e que sua altura, em quilômetros, no instante t, é dada por uma função H(t). A câmera deve acompanhar o foguete durante sua ascensão, ajustando continuamente seu ângulo de inclinação \theta(t) em relação ao solo. Sabendo que a câmera está a 10 km da base de lançamento, determine uma expressão para \theta(t) em função de H(t). Além disso, determine uma expressão para a velocidade angular \theta^{\prime}(t) da câmera em função de H(t) e de H^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo extraído do texto do problema):
  • Informação 1: A câmera está a 10 km da base de lançamento (essa distância é horizontal, medida sobre o solo).
  • Informação 2: A altura do foguete, em km, no instante t é dada por uma função H(t).
  • Pedido 1: Determinar uma expressão para o ângulo de inclinação da câmera \theta(t) em função de H(t).
  • Pedido 2: Determinar uma expressão para a velocidade angular \theta'(t) (derivada temporal de \theta) em função de H(t) e de H'(t).
Observação sobre notação e unidades:
  • \theta(t) é o ângulo entre a linha do solo e a linha de mira da câmera (em radianos, salvo indicação contrária).
  • H(t) tem unidades de km, H'(t) tem unidades de km/unidade de tempo (mesma unidade de tempo usada em t).
  • A distância horizontal fixa vale 10 km.

Passo 2

Montagem geométrica e interpretação: num instante t forma-se um triângulo retângulo cuja:
  • cateto oposto ao ângulo \theta(t) é H(t) (altura do foguete),
  • cateto adjacente é 10 (distância horizontal da câmera até a base).
A razão entre cateto oposto e adjacente é a tangente do ângulo. Logo, usando a função arco-tangente (inversa da tangente),
\theta(t)=\arctan\!\left(\frac{H(t)}{10}\right).
Explicando com calma: \tan(\theta)=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\dfrac{H(t)}{10}. Tomando a função inversa \arctan obtém-se \theta em termos de H. A resposta está em radianos por ser a convenção usual para derivadas angulares.

Passo 3

Regra para derivar uma função composta envolvendo \arctan. Três ideias-chave:
  1. Derivada básica: para a função identidade x\mapsto\arctan(x) vale a fórmula conhecida (pode-se obter por diferenciação implícita):
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Rápida justificativa: se y=\arctan x então x=\tan y. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos 1=\operatorname{sec}^{2}y\cdot \dfrac{dy}{dx}. Como \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y=1+x^{2}, chega-se a \dfrac{dy}{dx}=1/(1+x^{2}).
  1. Regra da cadeia: se temos \arctan(u(t)) então
\frac{d}{dt}\arctan\!\bigl(u(t)\bigr)=\frac{u'(t)}{1+\bigl(u(t)\bigr)^{2}}.
Aqui u(t) é a função interior e u'(t) sua derivada temporal.
  1. Aplicação ao nosso caso: tomar u(t)=\dfrac{H(t)}{10}. Então
u'(t)=\frac{H'(t)}{10}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da cadeia com u(t)=\dfrac{H(t)}{10} obtem-se inicialmente
\theta'(t)=\frac{\dfrac{H'(t)}{10}}{1+\left(\dfrac{H(t)}{10}\right)^{2}}.
Agora simplificamos essa fração passo a passo:
1+\left(\frac{H(t)}{10}\right)^{2}=1+\frac{H(t)^{2}}{100}=\frac{100+H(t)^{2}}{100}.
Substituindo no numerador:
\theta'(t)=\frac{H'(t)/10}{(100+H(t)^{2})/100} =\frac{H'(t)}{10}\cdot\frac{100}{100+H(t)^{2}} =\frac{10\,H'(t)}{100+H(t)^{2}}.
Portanto a velocidade angular fica expressa por essa função de H e H'. Observação de unidades: se H'(t) está em km/s (por exemplo), então \theta'(t) estará em rad/s, porque a expressão é adimensional no numerador/denominador após as divisões por km.

Resposta

\displaystyle \theta(t)=\arctan\!\left(\dfrac{H(t)}{10}\right)
\displaystyle \theta'(t)=\dfrac{10\,H'(t)}{100+H(t)^{2}}

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