A escala de absorbância de um espectrômetro é testada em um comprimento de onda específico com uma solução padrão que tem uma absorbância de 0,470 . Dez medições com o espectrômetro tem uma absorbância média de 0,461 e s=0,003. Encontre o intervalo de confiança de 95 \% para a absorbância média medida pelo espectrômetro e, portanto, decida se um erro sistemático está presente.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o intervalo de confiança de 95\% para a absorbância média medida pelo espectrômetro; (2) decidir se existe erro sistemático comparando esse intervalo com a absorbância conhecida da solução padrão.
Dados fornecidos: \bar{x}=0,461 (média de n=10 medições), s=0,003 (desvio-padrão amostral), valor verdadeiro da solução padrão \mu_0=0,470.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê. Como a variância real do processo não é conhecida (temos apenas s), o intervalo de confiança para a média deve usar a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=0,461);
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=0,003);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=10);
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade para probabilidade de cauda \alpha/2.
    Assunções necessárias (breve): as medições são independentes e a distribuição das leituras é aproximadamente normal — essas suposições justificam o uso da t.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{se}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,003}{\sqrt{10}}.
Calcule \sqrt{10}: \sqrt{10}\approx 3,1623. Então
\text{se}\approx\frac{0,003}{3,1623}\approx 0,0009487.

Passo 4

Determinar o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1}. Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Com n-1=9 graus de liberdade,
t_{0,025,\;9}\approx 2,262.
(Este valor vem da tabela da t de Student ou calculadora estatística.)

Passo 5

Calcular a margem de erro:
\text{margem}=t_{0,025,9}\cdot\text{se}\approx 2,262\times 0,0009487\approx 0,002146.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança de 95\%:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=0,461-0,002146\approx 0,458854,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=0,461+0,002146\approx 0,463146.
Arredondando de forma prática, o intervalo é aproximadamente (0,4589,\;0,4631).

Passo 7

Decisão sobre erro sistemático. A absorbância conhecida da solução padrão é \mu_0=0,470. Como 0,470 NÃO pertence ao intervalo de confiança de 95\% (que está em torno de 0,4589 a 0,4631), isso indica que a média medida pelo espectrômetro difere da referência de forma estatisticamente significativa ao nível de 5\%. Em outras palavras, há evidência de erro sistemático (viés) nas medições do aparelho.
Complemento (controle): podemos checar com o teste t:
t_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{se}}=\frac{0,461-0,470}{0,0009487}\approx -9,49,
e |t_{\text{obs}}|\gg t_{0,025,9}, logo rejeitamos a hipótese de que a média medida seja 0,470.

Resposta

Intervalo de confiança de 95\%: (0,4589,\;0,4631).
Conclusão: Sim — há evidência de erro sistemático, pois 0,470 está fora desse intervalo.

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