O conteúdo de íons sódio de uma amostra de urina foi determinado usando um eletrodo seletivo de íons. Foram obtidos os seguintes valores: 102, 97, 99, 98, 101, 106 mM . Quais são os limites de confiança de (a) 95 \% e (b) 99 \% para a concentração de íons sódio?

Passo 1

O enunciado pede os limites de confiança de (a) 95\% e (b) 99\% para a concentração de íons sódio, a partir dos dados da amostra.
Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado): \;102,\;97,\;99,\;98,\;101,\;106\; (unidade: mM).
As perguntas são: calcular o intervalo de confiança para a média da população com nível de confiança 95\% e com nível de confiança 99\%.

Passo 2

Qual método usar? Temos n=6 observações e não conhecemos o desvio-padrão populacional. Para n pequeno e \sigma desconhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula geral é:
\bar{x}\pm t_{\,\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador não viciado);
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{\,\alpha/2,\;n-1} é o quantil da t de Student com n-1 graus de liberdade tal que a área nas caudas juntas é \alpha (por exemplo, para 95\% de confiança, \alpha=0,05).

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}. Soma dos valores:
102+97+99+98+101+106 = 603
Logo,
\bar{x}=\frac{603}{6}=100,5\\ \text{mM}.

Passo 4

Calcular as diferenças (x_i-\bar{x}) e os quadrados dessas diferenças (mostro cada termo para você poder fazer igual na prova):
\begin{aligned} 102-100,5&=1,5&\Rightarrow&(1,5)^2=2,25\\\\ 97-100,5&=-3,5&\Rightarrow&(-3,5)^2=12,25\\\\ 99-100,5&=-1,5&\Rightarrow&(-1,5)^2=2,25\\\\ 98-100,5&=-2,5&\Rightarrow&(-2,5)^2=6,25\\\\ 101-100,5&=0,5&\Rightarrow&(0,5)^2=0,25\\\\ 106-100,5&=5,5&\Rightarrow&(5,5)^2=30,25 \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{x})^2=2,25+12,25+2,25+6,25+0,25+30,25=53,5.

Passo 5

Calcular a variância e o desvio-padrão amostral. A variância amostral (não viciada) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{53,5}{6-1}=\frac{53,5}{5}=10,7.
Logo o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{10,7}\approx 3,271.
Explicação rápida: dividimos por n-1 (graus de liberdade) para obter uma estimativa não viciada de \sigma^2.

Passo 6

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3,271}{\sqrt{6}}.
Calculando \sqrt{6}\approx2,449, temos
\text{SE}\approx\frac{3,271}{2,449}\approx1,335.

Passo 7

Achar os valores críticos da t de Student com n-1=5 graus de liberdade:
  • Para 95\% de confiança: \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil é aproximadamente t_{0,025,5}\approx2,5706 (valor da tabela t).
  • Para 99\% de confiança: \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005. O quantil é aproximadamente t_{0,005,5}\approx4,0321.

Passo 8

Construir o intervalo de 95\%. A margem de erro é
\text{ME}_{95}=t_{0,025,5}\cdot\text{SE}\approx2,5706\times1,335\approx3,431.
Portanto o intervalo de confiança 95\% é
\bar{x}\pm\text{ME}_{95}=100,5\pm3,431,
ou seja
\text{IC}_{95\%} \approx [100,5-3,431,\;100,5+3,431]=[97,069,\;103,931].
Arredondando convenientemente (duas casas decimais):
\text{IC}_{95\%}\approx[97,07,\;103,93]\\ \text{mM}.

Passo 9

Construir o intervalo de 99\%. A margem de erro é
\text{ME}_{99}=t_{0,005,5}\cdot\text{SE}\approx4,0321\times1,335\approx5,383.
Portanto o intervalo de confiança 99\% é
\bar{x}\pm\text{ME}_{99}=100,5\pm5,383,
ou seja
\text{IC}_{99\%} \approx [100,5-5,383,\;100,5+5,383]=[95,117,\;105,883].
Arredondando:
\text{IC}_{99\%}\approx[95,12,\;105,88]\\ \text{mM}.

Passo 10

Resumo rápido e motivador: usamos a média amostral \bar{x}=100,5 mM, o desvio-padrão amostral s\approx3,271, o erro padrão \approx1,335, e os quantis da t com 5 graus de liberdade para obter os intervalos. Fica a dica: em prova, calcule média, depois somatório dos quadrados das diferenças, depois s, SE, pegue t na tabela e finalize — segue sempre a mesma receita, dá pra fazer rápido com prática. Força, você consegue!

Resposta

(a) \text{IC}_{95\%}\approx[97,07,\;103,93]\\ \text{mM}
(b) \text{IC}_{99\%}\approx[95,12,\;105,88]\\ \text{mM}

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