O conteúdo de íons sódio de uma amostra de urina foi determinado usando um eletrodo seletivo de íons. Foram obtidos os seguintes valores: 102, 97, 99, 98, 101, 106 mM . Quais são os limites de confiança de (a)
e (b)
para a concentração de íons sódio?
Passo 1
O enunciado pede os limites de confiança de (a)
e (b)
para a concentração de íons sódio, a partir dos dados da amostra.
Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado): (unidade: mM).
As perguntas são: calcular o intervalo de confiança para a média da população com nível de confiança e com nível de confiança
.
Dados fornecidos (peguei esses valores do enunciado):
As perguntas são: calcular o intervalo de confiança para a média da população com nível de confiança
Passo 2
Qual método usar? Temos
observações e não conhecemos o desvio-padrão populacional. Para
pequeno e
desconhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student com
graus de liberdade. A fórmula geral é:
onde:
-
é a média amostral; -
é o desvio-padrão amostral (estimador não viciado); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da t de Student com graus de liberdade tal que a área nas caudas juntas é (por exemplo, para de confiança, ).
Passo 3
Calcular a média amostral
. Soma dos valores:
Logo,
Passo 4
Calcular as diferenças
e os quadrados dessas diferenças (mostro cada termo para você poder fazer igual na prova):
Somando os quadrados:
Passo 5
Calcular a variância e o desvio-padrão amostral. A variância amostral (não viciada) é
Logo o desvio-padrão amostral é
Explicação rápida: dividimos por
(graus de liberdade) para obter uma estimativa não viciada de
.
Passo 6
Calcular o erro padrão da média (standard error):
Calculando
, temos
Passo 7
Achar os valores críticos da t de Student com
graus de liberdade:
- Para
de confiança: e . O quantil é aproximadamente (valor da tabela t). - Para
de confiança: e . O quantil é aproximadamente .
Passo 8
Construir o intervalo de
. A margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança
é
ou seja
Arredondando convenientemente (duas casas decimais):
Passo 9
Construir o intervalo de
. A margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança
é
ou seja
Arredondando:
Passo 10
Resumo rápido e motivador: usamos a média amostral
mM, o desvio-padrão amostral
, o erro padrão
, e os quantis da t com
graus de liberdade para obter os intervalos. Fica a dica: em prova, calcule média, depois somatório dos quadrados das diferenças, depois
, SE, pegue t na tabela e finalize — segue sempre a mesma receita, dá pra fazer rápido com prática. Força, você consegue!
Resposta
(a)
(b)
(b)