Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u} \hat{\mathrm{i}} \text {, onde } \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max }\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]
O escoamento está em regime permanente ou transiente?

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade do escoamento no tubo:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}}, \qquad \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right].
O que se pede é identificar se o escoamento está em regime permanente (estacionário) ou transiente (instacionário). Vou listar claramente o que temos:
  • A velocidade é unidirecional ao longo do eixo do tubo: \hat{\mathrm{i}}.
  • O perfil de velocidade \mathrm{u} é dado em função da coordenada radial \mathrm{r} e do parâmetro \mathrm{U}_{\max} e do raio \mathrm{R}.
  • Não aparece, no enunciado, dependência explícita do tempo t na expressão de \mathrm{u}.

Passo 2

Definição-chave (explicação didática):
  • Regime permanente (ou estacionário): as propriedades do escoamento em um ponto fixo do espaço não mudam com o tempo. Matematicamente, para o campo de velocidade isso significa
\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{V}}}{\partial t}=0\quad\text{em todo ponto.}
  • Regime transiente (ou instacionário): as propriedades variam com o tempo, então
\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{V}}}{\partial t}\neq 0
em algum ponto.
Isso é a forma mais direta e útil para reconhecer o tipo de regime na prova: olhar se há dependência temporal explícita nas expressões (ou calcular a derivada temporal).

Passo 3

Aplicando a definição ao campo dado: a velocidade é
\overrightarrow{\mathrm{V}}(\mathrm{r})=\mathrm{U}_{\max}\!\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]\hat{\mathrm{i}}.
Aqui a função depende apenas da coordenada radial \mathrm{r} (e dos parâmetros constantes \mathrm{U}_{\max} e \mathrm{R}), não há t na expressão. Portanto a derivada temporal é
\frac{\partial \overrightarrow{\mathrm{V}}}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}\left(\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]\hat{\mathrm{i}}\right)=\mathbf{0},
porque ao derivar em relação a t uma expressão que não depende de t obtém-se zero. Logo satisfaz-se a condição de regime permanente.

Passo 4

Comentário adicional didático sobre “completamente desenvolvido”: “escoamento completamente desenvolvido” significa que o perfil de velocidade não varia ao longo do eixo do tubo, isto é,
\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}=0,
e tipicamente o perfil depende apenas de \mathrm{r}. No enunciado vemos exatamente que \mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{r}) sem dependência de x nem de t. Assim ambos os sentidos (completamente desenvolvido e estacionário) estão consistentes com a forma dada.

Passo 5

Observação prática para provas (evita pegadinhas): se no enunciado \mathrm{U}_{\max} fosse escrito como função do tempo, por exemplo \mathrm{U}_{\max}(t), então a expressão teria dependência temporal e o escoamento seria transiente. Como o enunciado apresenta \mathrm{U}_{\max} sem indicar dependência em t, o entendimento padrão é tratá‑la como constante.

Resposta

Regime permanente (estacionário): o campo de velocidade não depende do tempo, logo \dfrac{\partial \overrightarrow{\mathrm{V}}}{\partial t}=\mathbf{0}.

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