O campo de massas específicas de um escoamento é descrito por:
\rho=680-2 \frac{x}{y}+0,8 \frac{z}{x}-6 \cdot e^{-0,1 \cdot t}
Calcule a massa específica do elemento fluido localizado no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) para os instantes de tempo:
\mathrm{t}=10 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição temporal e espacial da massa específica por
\rho=680-2\frac{x}{y}+0,8\frac{z}{x}-6\cdot e^{-0,1\cdot t}
e pede para calcular a massa específica do elemento fluido no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) para o instante \mathrm{t}=10\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes que temos:
  • A função \rho em termos de (x,y,z,t) está dada acima.
  • Posição do ponto: x=1, y=2, z=1 (peguei esses valores do enunciado).
  • Instante: t=10\\ \mathrm{s} (peguei esse valor do enunciado).
  • O objetivo é substituir esses valores na expressão e calcular o número final (massa específica) no ponto e instante indicados.

Passo 2

Calcular o primeiro termo que depende de x e y:
\frac{x}{y}=\frac{1}{2}=0,5.
Agora multiplicar por -2:
-2\cdot\frac{x}{y}=-2\cdot0,5=-1.
Explicação rápida: dividir 1 por 2 0,5; multiplicar por -2 inverte o sinal e dá -1.

Passo 3

Calcular o termo que depende de z e x:
\frac{z}{x}=\frac{1}{1}=1.
Multiplicando por 0,8:
0,8\cdot\frac{z}{x}=0,8\cdot1=0,8.
Explicação: como z e x são iguais a 1, essa fração vale 1 e o termo fica igual ao coeficiente 0,8.

Passo 4

Calcular o termo exponencial que depende de t:
Primeiro o expoente:
-0,1\cdot t=-0,1\cdot10=-1.
Portanto o fator exponencial é e^{-1}, ou seja e^{-1}=\dfrac{1}{e}.
Usa-se a aproximação e\approx2,71828, logo
e^{-1}\approx0,367879\ldots
Multiplicando por 6:
6\cdot e^{-1}\approx6\cdot0,367879\ldots\approx2,2072766\ldots
Explicação: e é a base dos logaritmos naturais; e^{-1} é seu inverso, e a multiplicação por 6 dá o valor do termo subtraído na expressão de \rho.

Passo 5

Agora somar todos os termos na fórmula original, usando os resultados dos passos anteriores:
\rho=680 \;+\;(-1)\;+\;0,8\;-\;6e^{-1}.
Substituindo o valor aproximado de 6e^{-1}:
\rho\approx680-1+0,8-2,2072766\ldots
Fazendo as operações em sequência:
680-1=679,
679+0,8=679,8,
679,8-2,2072766\ldots \approx 677,5927234\ldots
Arredondando para três casas decimais (opcional, conforme necessidade da prova):
\rho\approx677,593.
Explicação: somou-se termo a termo para evitar erros; o único termo que exigiu aproximação foi o exponencial, por isso o resultado final é uma aproximação numérica.

Resposta

\rho(1,2,1,10)\approx677,593\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}

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