Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u} \hat{\mathrm{i}} \text {, onde } \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max }\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]
Se o diâmetro do tubo é de 1 in e a velocidade máxima do escoamento (U máx) é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a velocidade do escoamento no centro do tubo ( \mathrm{r}=0 in), para \mathrm{r}=\frac{1}{4} in e para \mathrm{r}=\frac{1}{2} in.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os valores indicados:
  • Velocidade do escoamento: \overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}} com
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right].
  • Diâmetro do tubo: \mathrm{D}=1\\ \text{in}.
  • Velocidade máxima: \mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedidos: calcular \mathrm{u} em \mathrm{r}=0\\ \text{in}, em \mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in} e em \mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (explicação didática):
  • \mathrm{U}_{\max} é a velocidade máxima, que ocorre no centro do tubo ( \mathrm{r}=0).
  • \mathrm{r} é a distância radial do centro (posição onde se quer a velocidade).
  • \mathrm{R} é o raio do tubo.
  • A razão \dfrac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}} é adimensional (sem unidades), então os comprimentos \mathrm{r} e \mathrm{R} podem estar em polegadas ou metros — desde que ambos estejam na mesma unidade, a razão é a mesma. Por isso não é necessário converter polegadas para metros aqui: usamos polegadas para \mathrm{r} e \mathrm{R} e mantemos \mathrm{U}_{\max} em \mathrm{m/s}, o que dá a velocidade final em \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o raio do tubo a partir do diâmetro:
\mathrm{R}=\frac{\mathrm{D}}{2}=\frac{1\\ \text{in}}{2}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}.

Passo 4

Calcular a velocidade em \mathrm{r}=0\\ \text{in}. Substituindo \mathrm{r}=0 na fórmula:
\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{0}{\tfrac{1}{2}}=0,\qquad \left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=0.
Logo
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\bigl(1-0\bigr)=\mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: no centro a velocidade é máxima, como esperado.

Passo 5

Calcular a velocidade em \mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}. Primeiro a razão:
\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}.
Elevar ao quadrado:
\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Substituir na fórmula:
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left(1-\tfrac{1}{4}\right)=\mathrm{U}_{\max}\cdot\tfrac{3}{4}.
Usando \mathrm{U}_{\max}=3\\ \mathrm{m/s}:
\mathrm{u}=3\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{9}{4}\\ \mathrm{m/s}=2,25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a velocidade em \mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}. Aqui \mathrm{r}=\mathrm{R}, logo
\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=1,\qquad \left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}=1.
Substituindo:
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}(1-1)=0.
Interpretação física: na parede do tubo a velocidade é nula (condição de não deslizamento).

Resposta

\mathrm{u}(\mathrm{r}=0\\ \text{in})=3\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{u}\bigl(\mathrm{r}=\tfrac{1}{4}\\ \text{in}\bigr)=2,25\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{u}\bigl(\mathrm{r}=\tfrac{1}{2}\\ \text{in}\bigr)=0\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados