O escoamento de um fluido em uma tubulação implica em perda de energia. Isto se deve, principalmente, ao atrito do fluido com a superfície interna da parede do tubo e com turbulências oriundas do escoamento do fluido. Para mensurar esta perda de energia, a literatura utiliza o fator de atrito
, sendo que a relação mais empregada para essa finalidade é a equação de Colebrook-White, proposta em 1939 e definida como:
em que
é a rugosidade,
é o diâmetro interno da tubulação e
é o número de Reynolds. Sabendo que o fator de atrito é adimensional, qual deve ser a condição para que a equação de Colebrook-White seja consistente dimensionalmente? Este modelo é linear ou não linear? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o fluxo de um fluido em um tubo perde energia devido ao atrito e turbulência. Para medir essa perda, usamos o fator de atrito
e a famosa equação de Colebrook-White. Nosso objetivo aqui é descobrir quais condições essa equação precisa cumprir para estar correta em termos de dimensões e também determinar se o modelo é linear ou não.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a equação de Colebrook-White seja dimensionalmente consistente. Isso significa que todos os termos dentro da equação devem ter as mesmas unidades ou ser adimensionais.
Olhemos a equação:
Sabemos que
é adimensional, então
também é adimensional. Agora, dentro do logaritmo, tudo precisa ser adimensional porque não podemos tirar o log de uma quantidade com unidades.
Vamos analisar os termos dentro do logaritmo:
-
Primeiro termo:
-
é a rugosidade do tubo, que tem unidades de comprimento (por exemplo, metros). -
é o diâmetro interno do tubo, também com unidades de comprimento. - Ao dividir
por , as unidades se cancelam, tornando adimensional.
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-
Segundo termo:
-
é o número de Reynolds, que é adimensional. -
também é adimensional porque é adimensional. - Portanto,
é adimensional, e ao dividir 2,51 por isso, o termo permanece adimensional.
-
Como ambos os termos dentro do logaritmo são adimensionais, a equação está dimensionalmente consistente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o modelo da equação de Colebrook-White é linear ou não linear.
Uma equação linear é aquela onde a incógnita (neste caso,
) aparece apenas na primeira potência e não está dentro de funções não lineares, como logaritmos ou raízes.
Observando a equação:
Veja que
aparece dentro de um logaritmo e também está sob uma raiz quadrada (
). Essas operações não são lineares. Portanto, a equação envolve termos não lineares em relação a
.
Resposta
Para que a equação de Colebrook-White seja dimensionalmente consistente, todos os termos dentro do logaritmo devem ser adimensionais, o que ocorre ao garantir que as razões
e
sejam adimensionais. Além disso, o modelo é não linear porque o fator de atrito
aparece dentro de um logaritmo e sob uma raiz quadrada, introduzindo termos não lineares na equação.