O escoamento de um fluido em uma tubulação implica em perda de energia. Isto se deve, principalmente, ao atrito do fluido com a superfície interna da parede do tubo e com turbulências oriundas do escoamento do fluido. Para mensurar esta perda de energia, a literatura utiliza o fator de atrito (f), sendo que a relação mais empregada para essa finalidade é a equação de Colebrook-White, proposta em 1939 e definida como:
1f=-2 ln (k3,7 D+2,51R e raizf)
em que k é a rugosidade, D é o diâmetro interno da tubulação e R e é o número de Reynolds. Sabendo que o fator de atrito é adimensional, qual deve ser a condição para que a equação de Colebrook-White seja consistente dimensionalmente? Este modelo é linear ou não linear? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o fluxo de um fluido em um tubo perde energia devido ao atrito e turbulência. Para medir essa perda, usamos o fator de atrito e a famosa equação de Colebrook-White. Nosso objetivo aqui é descobrir quais condições essa equação precisa cumprir para estar correta em termos de dimensões e também determinar se o modelo é linear ou não.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a equação de Colebrook-White seja dimensionalmente consistente. Isso significa que todos os termos dentro da equação devem ter as mesmas unidades ou ser adimensionais.
Olhemos a equação:
1f = -2 ln ( k3,7 D + 2,51Re raizf )
Sabemos que é adimensional, então também é adimensional. Agora, dentro do logaritmo, tudo precisa ser adimensional porque não podemos tirar o log de uma quantidade com unidades.
Vamos analisar os termos dentro do logaritmo:
  1. Primeiro termo:
    • é a rugosidade do tubo, que tem unidades de comprimento (por exemplo, metros).
    • é o diâmetro interno do tubo, também com unidades de comprimento.
    • Ao dividir por , as unidades se cancelam, tornando adimensional.
  2. Segundo termo:
    • é o número de Reynolds, que é adimensional.
    • também é adimensional porque é adimensional.
    • Portanto, é adimensional, e ao dividir 2,51 por isso, o termo permanece adimensional.
Como ambos os termos dentro do logaritmo são adimensionais, a equação está dimensionalmente consistente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o modelo da equação de Colebrook-White é linear ou não linear.
Uma equação linear é aquela onde a incógnita (neste caso, 1f = -2 ln ( k3,7 D + 2,51Re raizf ) ) aparece apenas na primeira potência e não está dentro de funções não lineares, como logaritmos ou raízes.
Observando a equação:
Veja que aparece dentro de um logaritmo e também está sob uma raiz quadrada ( ). Essas operações não são lineares. Portanto, a equação envolve termos não lineares em relação a .

Resposta

Para que a equação de Colebrook-White seja dimensionalmente consistente, todos os termos dentro do logaritmo devem ser adimensionais, o que ocorre ao garantir que as razões e sejam adimensionais. Além disso, o modelo é não linear porque o fator de atrito aparece dentro de um logaritmo e sob uma raiz quadrada, introduzindo termos não lineares na equação.

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