Considere um reator bioquímico em que o consumo de substrato ( ) promove o crescimento de biomassa e, consequentemente, a formação de produto ( ) conforme o seguinte modelo matemático:
em que é o tempo de operação, é o rendimento é uma constante cinética , é a taxa de diluição , é o rendimento específico , e é a concentração de alimentação de substrato . A taxa específica de crescimento (em função das concentraçōes de substrato e produto) é dada como:
em que é a produtividade máxima é uma constante cinética , é a taxa de crescimento máxima e é uma constante .
Sabendo que o conjunto e é um estado estacionário do modelo acima, determine o modelo linearizado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício sobre um reator bioquímico com algumas equações que descrevem como as concentrações de biomassa (), substrato () e produto () mudam ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é modelagem matemática de sistemas dinâmicos e, especificamente, linearização de sistemas não-lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar essas equações não-lineares perto de um ponto de equilíbrio usando uma matriz Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o estado estacionário dado: , e . Esse ponto é onde as derivadas em relação ao tempo são zero, ou seja, o sistema não está mudando mais.
Passo 3
O próximo passo é encontrar a matriz Jacobiana das equações do sistema. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções em relação às variáveis do sistema. Ela nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas concentrações afetam as taxas de variação.
As equações do sistema são:
E a taxa específica de crescimento é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a Jacobiana. Precisamos derivar cada equação em relação a , e .
Primeiro, determine , e . No entanto, como depende apenas de e , .
Passo 5
Calculando as derivadas:
Para :
(já que )
Para :
Para :
Passo 6
Agora, vamos calcular e usando a expressão de :
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 7
Substituindo os valores de equilíbrio (, , ) e os parâmetros fornecidos nas expressões das derivadas parciais, podemos calcular os elementos da matriz Jacobiana.
Vamos definir:
Primeiro, calculamos no estado estacionário:
Passo 8
Após calcular , substituímos todos os valores na Jacobiana para obter a matriz linearizada. A matriz Jacobiana será:
Passo 9
Finalmente, com todos os elementos calculados, o modelo linearizado ao redor do ponto de equilíbrio será:
dxdt = J (x - xe)
onde x = x1 x2 x3 e xe = x1e x2e x3e .
Resposta
O modelo linearizado do reator bioquímico ao redor do ponto de equilíbrio é dado pela equação:
dxdt = J (x - xe)
onde x = x1 x2 x3 , xe = 5,996 5,011 19,128 , g/L, e J é a matriz Jacobiana calculada no passo anterior com os valores específicos substituídos.