Considere um reator bioquímico em que o consumo de substrato ( x2 ) promove o crescimento de biomassa (x1) e, consequentemente, a formação de produto ( x3 ) conforme o seguinte modelo matemático:
d x1d t=(mu-D) x1 d x2d t=D(xF-x2)-mu x1Y d x3d t=-D x3+(alpha mu+beta) x1
em que t é o tempo de operação, Y é o rendimento (0,4 g / g), beta é uma constante cinética (0,2 h^-1), D é a taxa de diluição (0,202 h^-1), alpha é o rendimento específico (2,2 g / g), e xF é a concentração de alimentação de substrato (20 g / L). A taxa específica de crescimento (em função das concentraçōes de substrato e produto) é dada como:
mu=mumax (1-x3 / Pmax ) x2km+x2+k1 x2^2
em que Pmax é a produtividade máxima (50 g / L), k1 é uma constante cinética (0,04545 L / g), mumax é a taxa de crescimento máxima (0,48 h^-1) e km é uma constante (1,2 g / L).
Sabendo que o conjunto x1 e e=5,996 g / L, x2 e e=5,011 g / L e x3 e e=19,128 g / L é um estado estacionário do modelo acima, determine o modelo linearizado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício sobre um reator bioquímico com algumas equações que descrevem como as concentrações de biomassa ( x1), substrato ( x2) e produto ( x3) mudam ao longo do tempo. A matéria envolvida aqui é modelagem matemática de sistemas dinâmicos e, especificamente, linearização de sistemas não-lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar essas equações não-lineares perto de um ponto de equilíbrio usando uma matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o estado estacionário dado: x1e = 5,996 , g/L, x2e = 5,011 , g/L e x3e = 19,128 , g/L. Esse ponto é onde as derivadas em relação ao tempo são zero, ou seja, o sistema não está mudando mais.

Passo 3

O próximo passo é encontrar a matriz Jacobiana das equações do sistema. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções em relação às variáveis do sistema. Ela nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas concentrações afetam as taxas de variação.
As equações do sistema são:
d x1d t = (mu - D) x1 d x2d t = D(xF - x2) - mu x1Y d x3d t = -D x3 + (alpha mu + beta) x1
E a taxa específica de crescimento é:
mu = mumax (1 - x3Pmax) x2km + x2 + k1 x2^2

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a Jacobiana. Precisamos derivar cada equação em relação a x1, x2 e x3.
Primeiro, determine partial mupartial x1, partial mupartial x2 e partial mupartial x3. No entanto, como mu depende apenas de x2 e x3, partial mupartial x1 = 0.

Passo 5

Calculando as derivadas:
  1. Para d x1d t:
    • partial (mu - D)x1partial x1 = mu - D + x1 partial mupartial x1 = mu - D (já que partial mupartial x1 = 0)
    • partial (mu - D)x1partial x2 = x1 partial mupartial x2
    • partial (mu - D)x1partial x3 = x1 partial mupartial x3
  2. Para d x2d t:
    • partial [D(xF - x2) - mu x1Y]partial x1 = -muY + (-x1Y) partial mupartial x1 = -muY
    • partial [D(xF - x2) - mu x1Y]partial x2 = -D - x1Y partial mupartial x2
    • partial [D(xF - x2) - mu x1Y]partial x3 = -x1Y partial mupartial x3
  3. Para d x3d t:
    • partial [-D x3 + (alpha mu + beta) x1]partial x1 = alpha mu + beta + (alpha x1) partial mupartial x1 = alpha mu + beta
    • partial [-D x3 + (alpha mu + beta) x1]partial x2 = alpha x1 partial mupartial x2
    • partial [-D x3 + (alpha mu + beta) x1]partial x3 = -D + alpha x1 partial mupartial x3

Passo 6

Agora, vamos calcular partial mupartial x2 e partial mupartial x3 usando a expressão de mu:
mu = mumax (1 - x3Pmax) x2km + x2 + k1 x2^2
Calculando a derivada parcial em relação a x2:
partial mupartial x2 = mumax (1 - x3Pmax) km + x2 + k1 x2^2 - x2(1 + 2k1 x2)(km + x2 + k1 x2^2)^2
E a derivada parcial em relação a x3:

Passo 7

Substituindo os valores de equilíbrio ( x1e, x2e, x3e) e os parâmetros fornecidos nas expressões das derivadas parciais, podemos calcular os elementos da matriz Jacobiana.
Vamos definir:
  • D = 0,202 , h^-1
  • Y = 0,4 , g/g
  • beta = 0,2 , h^-1
  • alpha = 2,2 , g/g
  • mumax = 0,48 , h^-1
  • Pmax = 50 , g/L
  • km = 1,2 , g/L
  • k1 = 0,04545 , L/g
  • x1e = 5,996 , g/L
  • x2e = 5,011 , g/L
  • x3e = 19,128 , g/L
  • xF = 20 , g/L
Primeiro, calculamos mue no estado estacionário:
mue = 0,48 (1 - 19,12850) times 5,0111,2 + 5,011 + 0,04545 times (5,011)^2

Passo 8

Após calcular mue, substituímos todos os valores na Jacobiana para obter a matriz linearizada. A matriz Jacobiana J será:
J = mue - D & x1e partial mupartial x2 & x1e partial mupartial x3 -mueY & -D - x1eY partial mupartial x2 & -x1eY partial mupartial x3 alpha mue + beta & alpha x1e partial mupartial x2 & -D + alpha x1e partial mupartial x3

Passo 9

Finalmente, com todos os elementos calculados, o modelo linearizado ao redor do ponto de equilíbrio será:
dxdt = J (x - xe)
onde x = x1 x2 x3 e xe = x1e x2e x3e .

Resposta

O modelo linearizado do reator bioquímico ao redor do ponto de equilíbrio é dado pela equação:
dxdt = J (x - xe)
onde x = x1 x2 x3 , xe = 5,996 5,011 19,128 , g/L, e J é a matriz Jacobiana calculada no passo anterior com os valores específicos substituídos.

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