O escoamento em um rio, com altura d’água igual a 1 m e largura de 30 m pode ser descrito como escoamento permanente e uniforme em canal retangular. A declividade do fundo é
e o coeficiente
. Em um trecho retilíneo de rio está prevista a construção de uma ponte, perpendicular à corrente, com três pilares circulares, cada um com
. Considerando de pequena grandeza as
perdas de carga na seção da ponte, determine se o escoamento a montante se alteraria com a presença dos pilares e em caso afirmativo qual seria a altura d’água imediatamente a montante da ponte. Considere que a área não ocupada pelos pilares atua como um só canal retangular e que a posição dos pilares na seção transversal não causa nenhuma influência.
perdas de carga na seção da ponte, determine se o escoamento a montante se alteraria com a presença dos pilares e em caso afirmativo qual seria a altura d’água imediatamente a montante da ponte. Considere que a área não ocupada pelos pilares atua como um só canal retangular e que a posição dos pilares na seção transversal não causa nenhuma influência.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a presença de três pilares circulares na seção do rio vai alterar o escoamento a montante e, em caso afirmativo, calcular a nova altura d’água imediatamente a montante da ponte. Dados fornecidos:
- largura do canal:
; - altura d’água (montante, antes da ponte):
(escoamento uniforme e permanente); - declividade do fundo:
; - coeficiente de Manning:
; - número de pilares:
; - diâmetro de cada pilar:
.
O enunciado também diz: considerar de pequena grandeza as perdas na seção da ponte e que a área não ocupada pelos pilares atua como um só canal retangular (ou seja, a posição dos pilares não importa para a forma de escoamento na seção reduzida).
Passo 2
Estratégia física (sem resolver ainda): como não há perdas significativas na ponte, a vazão
que passa pelo canal a montante deve ser a mesma que passa pela seção reduzida na ponte (continuidade). O escoamento uniforme inicial permite calcular
a partir da fórmula de Manning para canal aberto. Se a seção efetiva disponível na ponte for menor, a profundidade imediatamente a montante da ponte ajustará para um novo valor
que satisfaça a relação de Manning com a mesma
e a mesma declividade
.
Vou primeiro calcular a vazão
correspondente ao escoamento uniforme com
.
Passo 3
Fórmula de Manning (definição e significado das variáveis).
A fórmula de Manning para vazão em canais abertos é:
A fórmula de Manning para vazão em canais abertos é:
onde:
-
é a vazão volumétrica ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por , sendo o perímetro molhado ( ); -
é a declividade da linha de energia (para escoamento uniforme é igual à declividade do fundo ).
Para uma seção retangular de largura
e profundidade
:
Agora aplico isso ao escoamento inicial (
,
).
Passo 4
Cálculo da vazão inicial
.
Primeiro calculemos as quantidades geométricas iniciais:
Primeiro calculemos as quantidades geométricas iniciais:
Agora a vazão usando Manning:
Substituindo os valores (cada número está entre colchetes para facilitar a leitura):
Agora:
Portanto a vazão que atravessa a seção é aproximadamente
Passo 5
Efeito dos pilares: área útil na seção da ponte.
Os três pilares ocupam largura total (projeção na direção da largura), e, segundo enunciado, a área não ocupada atua como um só canal retangular. Assim a largura efetiva na seção com pilares é:
Os três pilares ocupam largura total
Como as perdas na ponte são consideradas de pequena grandeza, assumimos que a declividade efetiva
e o coeficiente
não mudam; a vazão continuará sendo
calculada no Passo 4. O que muda é a profundidade
que satisfaz a equação de Manning para a nova largura
:
com
Temos aqui uma equação não-linear em
; vamos resolvê-la numericamente (método de inspeção/interpolação).
Passo 6
Avaliação numérica da equação para alguns valores de
e interpolação.
Definimos a função dada por:
Definimos a função
Queremos
. Calcularei
para alguns
próximos de
.
Para
:
Observação:
, logo a profundidade deve aumentar.
Para
:
Ainda um pouco abaixo de
.
Para
:
Agora ficou um pouco acima de
. Então a profundidade procurada está entre
e
.
Fazendo uma interpolação linear aproximada entre os pontos
e
para atingir
:
diferença em entre
e
é
. Para subir de
até
faltam
. Fração aproximada
do intervalo de
, ou seja cerca de
. Assim:
diferença em
Se quisermos verificar rapidamente calculando
obtém-se cerca de
, muito próximo do alvo
.
Passo 7
Interpretação e conclusão técnica final:
- A presença dos pilares reduz a largura efetiva de escoamento de
para . Para manter a mesma vazão e a mesma declividade com o mesmo coeficiente , a profundidade deve aumentar. - O valor calculado para a profundidade imediatamente a montante da ponte (considerando-se pequena as perdas na seção da ponte) é aproximadamente
, ou seja um aumento de aproximadamente em relação aos iniciais.