O escoamento em um rio, com altura d’água igual a 1 m e largura de 30 m pode ser descrito como escoamento permanente e uniforme em canal retangular. A declividade do fundo é \mathrm{lo}=0,0054 e o coeficiente \mathrm{n}=0,034. Em um trecho retilíneo de rio está prevista a construção de uma ponte, perpendicular à corrente, com três pilares circulares, cada um com \mathrm{D}=1,5 \mathrm{~m}. Considerando de pequena grandeza as
perdas de carga na seção da ponte, determine se o escoamento a montante se alteraria com a presença dos pilares e em caso afirmativo qual seria a altura d’água imediatamente a montante da ponte. Considere que a área não ocupada pelos pilares atua como um só canal retangular e que a posição dos pilares na seção transversal não causa nenhuma influência.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a presença de três pilares circulares na seção do rio vai alterar o escoamento a montante e, em caso afirmativo, calcular a nova altura d’água imediatamente a montante da ponte. Dados fornecidos:
  • largura do canal: b=30\\ \text{m};
  • altura d’água (montante, antes da ponte): h_0=1{,}0\\ \text{m} (escoamento uniforme e permanente);
  • declividade do fundo: S_0=0{,}0054;
  • coeficiente de Manning: n=0{,}034;
  • número de pilares: N=3;
  • diâmetro de cada pilar: D=1{,}5\\ \text{m}.
    O enunciado também diz: considerar de pequena grandeza as perdas na seção da ponte e que a área não ocupada pelos pilares atua como um só canal retangular (ou seja, a posição dos pilares não importa para a forma de escoamento na seção reduzida).

Passo 2

Estratégia física (sem resolver ainda): como não há perdas significativas na ponte, a vazão Q que passa pelo canal a montante deve ser a mesma que passa pela seção reduzida na ponte (continuidade). O escoamento uniforme inicial permite calcular Q a partir da fórmula de Manning para canal aberto. Se a seção efetiva disponível na ponte for menor, a profundidade imediatamente a montante da ponte ajustará para um novo valor h que satisfaça a relação de Manning com a mesma Q e a mesma declividade S_0.
Vou primeiro calcular a vazão Q correspondente ao escoamento uniforme com h_0=1{,}0\\ \text{m}.

Passo 3

Fórmula de Manning (definição e significado das variáveis).
A fórmula de Manning para vazão em canais abertos é:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica ( \text{m}^3/\text{s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção ( \text{m}^2);
  • R é o raio hidráulico ( \text{m}), definido por R=\dfrac{A}{P}, sendo P o perímetro molhado ( \text{m});
  • S é a declividade da linha de energia (para escoamento uniforme S é igual à declividade do fundo S_0).
Para uma seção retangular de largura b e profundidade h:
A=b\,h,\qquad P=b+2h,\qquad R=\frac{b\,h}{b+2h}.
Agora aplico isso ao escoamento inicial ( b=30\\ \text{m}, h_0=1{,}0\\ \text{m}).

Passo 4

Cálculo da vazão inicial Q.
Primeiro calculemos as quantidades geométricas iniciais:
A_0=b\,h_0=30\cdot 1{,}0=30{,}0\\ \text{m}^2,
P_0=b+2h_0=30+2\cdot 1{,}0=32{,}0\\ \text{m},
R_0=\frac{A_0}{P_0}=\frac{30{,}0}{32{,}0}=0{,}9375\\ \text{m}.
Agora a vazão usando Manning:
Q=\frac{1}{n}\,A_0\,R_0^{2/3}\,S_0^{1/2}.
Substituindo os valores (cada número está entre colchetes para facilitar a leitura):
\frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}034}=29{,}4117647\ldots
R_0^{2/3}=(0{,}9375)^{2/3}\approx 0{,}9579,
S_0^{1/2}=\sqrt{0{,}0054}\approx 0{,}073485.
Agora:
Q\approx 29{,}4117647\cdot 30{,}0\cdot 0{,}9579\cdot 0{,}073485 \approx 62{,}06\\ \text{m}^3/\text{s}.
Portanto a vazão que atravessa a seção é aproximadamente \,Q\approx 62{,}06\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 5

Efeito dos pilares: área útil na seção da ponte.
Os três pilares ocupam largura total N\cdot D (projeção na direção da largura), e, segundo enunciado, a área não ocupada atua como um só canal retangular. Assim a largura efetiva na seção com pilares é:
b'=b-ND=30-3\cdot 1{,}5=30-4{,}5=25{,}5\\ \text{m}.
Como as perdas na ponte são consideradas de pequena grandeza, assumimos que a declividade efetiva S_0 e o coeficiente n não mudam; a vazão continuará sendo Q calculada no Passo 4. O que muda é a profundidade h que satisfaz a equação de Manning para a nova largura b':
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
com
A=b'\,h,\qquad R=\frac{b'h}{\,b'+2h\,}.
Temos aqui uma equação não-linear em h; vamos resolvê-la numericamente (método de inspeção/interpolação).

Passo 6

Avaliação numérica da equação para alguns valores de h e interpolação.
Definimos a função Q(h) dada por:
Q(h)=\frac{1}{n}\,b'h\left(\frac{b'h}{b'+2h}\right)^{2/3}S_0^{1/2}.
Queremos Q(h)=62{,}06\\ \text{m}^3/\text{s}. Calcularei Q(h) para alguns h próximos de 1\\ \text{m}.
Para h=1{,}00\\ \text{m}:
A=25{,}5\cdot 1{,}0=25{,}5\\ \text{m}^2,
P=25{,}5+2\cdot 1{,}0=27{,}5\\ \text{m},
R=\frac{25{,}5}{27{,}5}=0{,}92727,
R^{2/3}\approx 0{,}9508,
Q(1{,}00)\approx \frac{1}{0{,}034}\cdot 25{,}5\cdot 0{,}9508\cdot 0{,}073485\approx 52{,}42\\ \text{m}^3/\text{s}.
Observação: Q(1{,}00)<62{,}06, logo a profundidade deve aumentar.
Para h=1{,}10\\ \text{m}:
A=25{,}5\cdot 1{,}10=28{,}05\\ \text{m}^2,
P=25{,}5+2\cdot 1{,}10=27{,}7\\ \text{m},
R=\frac{28{,}05}{27{,}7}=1{,}0126,
R^{2/3}\approx 1{,}0083,
Q(1{,}10)\approx \frac{1}{0{,}034}\cdot 28{,}05\cdot 1{,}0083\cdot 0{,}073485\approx 61{,}14\\ \text{m}^3/\text{s}.
Ainda um pouco abaixo de 62{,}06.
Para h=1{,}12\\ \text{m}:
A=25{,}5\cdot 1{,}12=28{,}56\\ \text{m}^2,
P=25{,}5+2\cdot 1{,}12=27{,}74\\ \text{m},
R=\frac{28{,}56}{27{,}74}=1{,}0296,
R^{2/3}\approx 1{,}0196,
Q(1{,}12)\approx \frac{1}{0{,}034}\cdot 28{,}56\cdot 1{,}0196\cdot 0{,}073485\approx 62{,}96\\ \text{m}^3/\text{s}.
Agora ficou um pouco acima de 62{,}06. Então a profundidade procurada está entre 1{,}10 e 1{,}12\\ \text{m}.
Fazendo uma interpolação linear aproximada entre os pontos (1{,}10,61{,}14) e (1{,}12,62{,}96) para atingir 62{,}06:
diferença em Q entre 1{,}10 e 1{,}12 é 1{,}82\\ \text{m}^3/\text{s}. Para subir de 61{,}14 até 62{,}06 faltam 0{,}92. Fração aproximada 0{,}92/1{,}82\approx 0{,}505 do intervalo de 0{,}02\\ \text{m}, ou seja cerca de 0{,}0101\\ \text{m}. Assim:
h\approx 1{,}10 + 0{,}0101 \approx 1{,}110\\ \text{m}.
Se quisermos verificar rapidamente calculando Q(1{,}110) obtém-se cerca de 62{,}03\\ \text{m}^3/\text{s}, muito próximo do alvo 62{,}06.

Passo 7

Interpretação e conclusão técnica final:
  • A presença dos pilares reduz a largura efetiva de escoamento de 30{,}0\\ \text{m} para 25{,}5\\ \text{m}. Para manter a mesma vazão e a mesma declividade com o mesmo coeficiente n, a profundidade deve aumentar.
  • O valor calculado para a profundidade imediatamente a montante da ponte (considerando-se pequena as perdas na seção da ponte) é aproximadamente h\approx 1{,}11\\ \text{m}, ou seja um aumento de aproximadamente 0{,}11\\ \text{m} em relação aos 1{,}00\\ \text{m} iniciais.

Resposta

1{,}11\\ \text{m}

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