Um reservatório mantido em nível constante alimenta um canal retangular de 2,0 \mathrm{~m} de largura e \mathrm{n}=0,018, constituído de trecho longo \mathrm{AB}(\mathrm{IoAB}=0,01). Determine:
Para uma vazão captada de 7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, caso seja inserida em B uma elevação de fundo com 0,1m de altura para que se forme um ressalto, determinar suas profundidades conjugadas. O regime sobre a elevação é crítico, as perdas no degrau negligenciáveis e a declividade de fundo não altera as características do ressalto.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Para a vazão Q=7{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e um canal retangular de largura b=2{,}0\\ \mathrm{m}, foi inserida em B uma elevação do fundo de 0{,}10\\ \mathrm{m} de modo a provocar um ressalto (hydraulic jump).
  • Diz-se que o regime sobre a elevação é crítico e que as perdas no degrau são desprezíveis.
  • Pedem: determinar as profundidades conjugadas do ressalto (ou seja, a profundidade supercrítica antes do ressalto y_1 e a profundidade subcrítica conjugada y_2).
Dados relevantes (extraídos do enunciado / figura):
  • Q = 7{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • b = 2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • rugosidade de Manning n = 0{,}018.
  • declividade do trecho \;I_0 = 0{,}01.
  • altura do degrau (elevação) h = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
    Observação: a figura também indica níveis/altitudes do reservatório e do ponto A, mas a informação essencial para o cálculo das profundidades conjugadas é a largura, a vazão e o fato de o escoamento sobre a elevação ser crítico.

Passo 2

Conceito e cálculo da profundidade normal aproximada (ideia prática para encontrar a profundidade de escoamento no canal antes de qualquer perturbação).
  • Fórmula de Manning para escoamento uniforme: Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de Manning;
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2);
  • R é o raio hidráulico ( R=\dfrac{A}{P}, com P perímetro molhado, em m);
  • S é a declividade do fundo (aqui S=I_0).
  • Para canal retangular com profundidade y: A = b\,y,\qquad P = b+2y,\qquad R=\frac{b y}{b+2y}.
  • Vamos estimar a profundidade normal y_n resolvendo numericamente a equação de Manning. Teste prático (tentar y=1{,}00\\ \mathrm{m}):
    • A = 2{,}0\times1{,}00=2{,}00\\ \mathrm{m}^2.
    • P = 2{,}0 + 2\times1{,}00=4{,}00\\ \mathrm{m}.
    • R = 2{,}00/4{,}00=0{,}50\\ \mathrm{m}.
    • R^{2/3}=(0{,}5)^{2/3}\approx0{,}62996.
    • \dfrac{1}{n}=55{,}5556.
    • Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} = 55{,}5556\times2{,}00\times0{,}62996\times\sqrt{0{,}01}.
    • \sqrt{0{,}01}=0{,}1. Calculando dá Q\approx6{,}9995\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, muito próximo de 7{,}0.
Conclusão deste passo:
  • A profundidade normal (valor prático para o escoamento no trecho longo) é \;y_n \approx 1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Comentário didático: esse valor é uma boa aproximação da profundidade do escoamento antes da inserção do degrau; como y_n é menor que a profundidade crítica (veremos abaixo), o escoamento é ligeiramente supercrítico.

Passo 3

Cálculo da profundidade crítica y_c (importante porque foi dito que sobre a elevação o regime é crítico).
  • Para canal retangular, a profundidade crítica é obtida a partir da condição de energia específica mínima; a fórmula prática é: y_c = \left(\dfrac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Substituindo: y_c = \left(\dfrac{7{,}0^2}{9{,}81\times 2{,}0^2}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{49}{9{,}81\times4}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{49}{39{,}24}\right)^{1/3} \approx (1{,}249)^{1/3}\approx1{,}077\\ \mathrm{m}.
Conclusão:
  • \;y_c \approx 1{,}08\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o regime (Froude) no trecho antes do ressalto e comparar com y_c.
  • Froude Fr é a razão entre velocidade média e velocidade de onda rasa: Fr=\frac{V}{\sqrt{g\,y}},\qquad V=\frac{Q}{b\,y}.
  • Usando y=y_n=1{,}00\\ \mathrm{m}: V=\dfrac{7}{2\times1}=3{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • \sqrt{g y}=\sqrt{9{,}81\times1}=3{,}132\\ \mathrm{m/s}.
  • Fr_1=\frac{3{,}5}{3{,}132}\approx1{,}118>1.
Interpretação:
  • Como Fr_1>1 e y_n < y_c, o escoamento no trecho é supercrítico (ou seja, a profundidade de aproximação para o ressalto é a profundidade supercrítica y_1\approx y_n).

Passo 5

Fórmula das profundidades conjugadas do ressalto (teoria e aplicação).
  • A relação entre profundidades conjugadas y_1 (profundidade supercrítica antes do salto) e y_2 (profundidade subcrítica após o salto) em canal retangular resulta da conservação de quantidade de movimento (momento) e da continuidade. A fórmula prática é: y_2 = \frac{y_1}{2}\Big(\sqrt{1+8\,Fr_1^{2}}-1\Big),
onde Fr_1 é o Froude avaliado em y_1 (aqui usamos y_1\approx y_n, pois o escoamento de aproximação é supercrítico).
  • Já calculamos y_1\approx1{,}00\\ \mathrm{m} e Fr_1\approx1{,}118. Então:
    • Fr_1^2\approx1{,}250.
    • 1+8\,Fr_1^2 = 1 + 8\times1{,}250 = 1 + 10{,}000 = 11{,}000.
    • \sqrt{1+8\,Fr_1^2} \approx \sqrt{11{,}000}\approx3{,}3166.
    • y_2 = \frac{1{,}00}{2}\,(3{,}3166 - 1) = 0{,}5\times2{,}3166 = 1{,}1583\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente: \;y_2 \approx 1{,}16\\ \mathrm{m}.
Comentário físico:
  • O salto hidráulico transforma a corrente supercrítica de profundidade \approx1{,}00\\ \mathrm{m} numa corrente subcrítica mais profunda \approx1{,}16\\ \mathrm{m}, dissipando energia no processo. A elevação de 0{,}10\\ \mathrm{m} no fundo cria as condições (retrocessos/ajustes de energia) para que o ressalto se estabilize na posição desejada; como a declividade e perdas no degrau foram desprezadas, a análise foi feita com as fórmulas clássicas de salto em canal retangular.

Resposta

Profundidade supercrítica antes do ressalto: y_1 \approx 1{,}00\\ \mathrm{m}
Profundidade subcrítica conjugada após o ressalto: y_2 \approx 1{,}16\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados