Um canal retangular transporta vazão unitária q=0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{sm} e em determinada seção há uma elevação de fundo de 0,25 \mathrm{~m} de altura. Ocorrendo um ressalto hidráulico imediatamente antes da soleira, determinar as suas alturas conjugadas. Considere que as perdas na elevação são desprezíveis e que há escoamento crítico nessa seção.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as alturas conjugadas do ressalto hidráulico (profundidade antes do ressalto y_1 e profundidade após o ressalto y_2), sabendo que:
  • a vazão unitária é \,q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s\cdot m}\; (ou seja q por unidade de largura);
  • há uma elevação do fundo (soleira) de altura \,0,25\\ \mathrm{m};
  • o ressalto ocorre imediatamente antes da soleira;
  • as perdas na elevação são desprezíveis (energia conservada na elevação);
  • há escoamento crítico sobre a soleira (a profundidade sobre a soleira é a profundidade crítica \,y_c).
Informações relevantes recolhidas do enunciado/imagem:
  • \,q=0,5\\ \mathrm{m^{3}/s\cdot m}.
  • elevação do fundo \Delta z = 0,25\\ \mathrm{m}.
  • o ressalto está imediatamente a montante (antes) da soleira; a profundidade sobre a soleira é crítica ( y_c).
    A partir destas informações precisamos encontrar y_1 (profundidade a montante do ressalto) e y_2 (profundidade a jusante do ressalto, imediatamente antes da soleira).

Passo 2

Calcular a profundidade crítica \,y_c para o escoamento unitário \,q.
Conceito rápido: em um canal retangular a profundidade crítica \,y_c satisfaz a condição
q^2 = g\,y_c^3,
obtida impondo que a velocidade correspondente torna o número de Froude igual a 1 (condição de criticidade). Isolando \,y_c:
y_c = \left(\dfrac{q^2}{g}\right)^{1/3}.
Aplicando os valores ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e q=0,5\\ \mathrm{m^2/s}):
y_c = \left(\dfrac{(0,5)^2}{9{,}81}\right)^{1/3} = \left(\dfrac{0,25}{9{,}81}\right)^{1/3} \approx 0,2946\\ \mathrm{m}.
Logo:
y_c \approx 0,2946\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Usar conservação de energia (sem perdas) entre a seção imediatamente a montante da soleira (onde a profundidade é y_2 e o fundo está na cota 0) e a seção sobre a soleira (onde o fundo está elevado de \Delta z=0,25\\ \mathrm{m} e a profundidade é \,y_c).
A energia total (cota do fundo + energia específica) se conserva:
z_1 + y_2 + \dfrac{q^2}{2g\,y_2^2} \;=\; z_2 + y_c + \dfrac{q^2}{2g\,y_c^2}.
Aqui z_1=0 (antes da elevação) e z_2=\Delta z=0,25\\ \mathrm{m}. Portanto:
y_2 + \dfrac{q^2}{2g\,y_2^2} = 0,25 + y_c + \dfrac{q^2}{2g\,y_c^2}.
Vamos calcular o lado direito numérico usando o valor de y_c obtido:
Calcule
\frac{q^2}{2g\,y_c^2}=\frac{0,25}{2\cdot9{,}81\cdot(0,2946)^2} \approx 0,1468\\ \mathrm{m}.
Portanto o lado direito é
0,25 + y_c + 0,1468 \approx 0,25 + 0,2946 + 0,1468 = 0,6914\\ \mathrm{m}.
Então y_2 satisfaz a equação escalar
y_2 + \dfrac{0,25}{2\cdot9{,}81\;y_2^2} = 0,6914.
Solução numérica (procura por tentativa/iteração):
  • testar y_2=0,6: esquerda =0,6+0,0354=0,6354 (menor que 0,6914);
  • testar y_2=0,66: esquerda =0,66+0,0293=0,6893 (ligeiramente menor);
  • testar y_2=0,663: esquerda =0,663+0,02905=0,69205 (um pouco maior).
Interpolando, obtém-se
y_2 \approx 0,6623\\ \mathrm{m}.
Observação: y_2 é maior que y_c, condizente com a necessidade de energia adicional para subir a elevação.

Passo 4

Determinar y_1 usando conservação de quantidade de movimento (equação do momento) através do ressalto (essa é a equação apropriada porque o ressalto dissipa energia, mas conserva momento na largura unitária em canal retangular).
Para canal retangular a função momento por unidade de largura é
M(y) = \dfrac{q^2}{g\,y} + \dfrac{y^2}{2}.
A conservação do momento através do ressalto dá
\dfrac{q^2}{g\,y_1} + \dfrac{y_1^2}{2} \;=\; \dfrac{q^2}{g\,y_2} + \dfrac{y_2^2}{2}.
Já sabemos q=0,5\\ \mathrm{m^2/s} e y_2\approx 0,6623\\ \mathrm{m}. Calcule o lado direito numérico:
\dfrac{q^2}{g\,y_2} = \dfrac{0,25}{9{,}81\cdot 0,6623} \approx 0,03847\\ \mathrm{m},
\dfrac{y_2^2}{2} = \dfrac{(0,6623)^2}{2} \approx 0,2193\\ \mathrm{m}.
Soma:
\dfrac{q^2}{g\,y_2} + \dfrac{y_2^2}{2} \approx 0,2578\\ \mathrm{m}.
Então y_1 satisfaz
\dfrac{0,25}{9{,}81\,y_1} + \dfrac{y_1^2}{2} = 0,2578.
Solução numérica por tentativa:
  • y_1=0,10: \dfrac{0,25}{9{,}81\cdot0,10}+0,10^2/2 \approx 0,2548+0,0050=0,2598 (ligeiramente maior que 0,2578);
  • y_1=0,101: \approx 0,2523+0,00510=0,2574 (ligeiramente menor);
  • interpolando encontra-se
y_1 \approx 0,1008\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação física (números de Froude):
F_{1}=\dfrac{q}{\sqrt{g\,y_1^3}} \approx \dfrac{0,5}{\sqrt{9{,}81\cdot(0,1008)^3}} \approx 4{,}99\;(\text{supercrítico}),í
F_{2}=\dfrac{q}{\sqrt{g\,y_2^3}} \approx \dfrac{0,5}{\sqrt{9{,}81\cdot(0,6623)^3}} \approx 0{,}30\;(\text{subcrítico}).í
Bom: antes do ressalto (montante do ressalto) temos supercrítico reduzido ( y_1 pequeno) e após o ressalto temos subcrítico ( y_2 maior), como esperado.

Resposta

y_1 \approx 0,1008\\ \mathrm{m}
y_2 \approx 0,6623\\ \mathrm{m}

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