Para um escoamento sobre uma placa, a variação vertical de velocidade com distância y na direção normal à placa é dada por u
=a y+b y 2, onde a e b são constantes. Obtenha uma relação para a tensão de cisalhamento na parede em termos de a, b e m.

Passo 1

O enunciado dá a variação da velocidade tangencial u na direção paralela à placa como função da distância normal y:
u = a\,y + b\,y^{2},
onde a e b são constantes. Pede-se: obter uma relação para a tensão de cisalhamento na parede em termos de a, b e m. Aqui a notação m aparece no enunciado; vou usá‑la como a constante que multiplica a derivada (normalmente a viscosidade dinâmica), ou seja, é o parâmetro físico que relaciona gradiente de velocidade à tensão de cisalhamento. Não se pede valores numéricos, apenas a expressão analítica da tensão na parede.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): em um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento \tau relacionada ao movimento paralelo à parede é proporcional ao gradiente de velocidade normal à parede. A fórmula local é
\tau_{xy} = m\,\frac{\partial u}{\partial y},
onde:
  • \tau_{xy} é a componente de tensão de cisalhamento (força por unidade de área) que age tangencialmente à superfície;
  • m é a constante de proporcionalidade (a viscosidade dinâmica, no jargão usual);
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada da componente de velocidade u em relação à coordenada normal y, ou seja, o quão rápido a velocidade muda ao sair da parede.
    Explicando com calma: a tensão é maior quando a velocidade varia muito em um pequeno intervalo de y; m mede “resistência” do fluido a esse cisalhamento.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de velocidade \dfrac{\partial u}{\partial y} a partir do perfil dado. Diferenciando termo a termo:
  • a derivada de a\,y em relação a y é a, porque a é constante;
  • a derivada de b\,y^{2} em relação a y é 2b\,y, pela regra da potência.
    Logo,
\frac{\partial u}{\partial y} = a + 2\,b\,y.

Passo 4

A tensão de cisalhamento na parede corresponde ao valor da tensão no ponto da superfície sólida, que normalmente tomamos como y=0 (a parede está em y=0). Portanto avaliamos o gradiente em y=0:
\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0} = a + 2\,b\cdot 0 = a.
Substituindo na relação de Newton para tensão de cisalhamento, obtemos a tensão na parede:
\tau_{w} = m\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0} = m\,a.
Interpretação rápida: apesar de o perfil ter termo quadrático, na parede só sobra o coeficiente linear a quando avaliamos o gradiente em y=0.

Passo 5

Resumo prático para a prova (memorização simples): derivada do perfil, avalia em y=0, multiplica por m. Se te derem u= a y + b y^{2}, você faz du/dy = a + 2by, põe y=0 e multiplica por m — pronto, \tau_{w}=m a. Força um passo a passo que dá pouquíssimo trabalho na hora!

Resposta

\tau_{w}=m\,a

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