Questão 4) Considere um conjunto cilindro-pistão com diâmetro interno
, espessura de parede
, altura inicial
e uma determinada massa de gás
à uma temperatura
e pressão interna
. Considere que é possível controlar uma força externa
aplicada ao êmbolo. Responda os seguintes itens: a) É possível aumentar a temperatura até um valor
mantendo a pressão interna constante se o conjunto inteiro estiver perfeitamente isolado do ambiente externo e o gás for considerado ideal? Explique
. b) Se o gás é comprimido em um processo considerado politrópico com
, escreva uma expressão para determinar a nova altura do êmbolo em função das condições iniciais e da nova pressão atingida,
.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro com pistão com as seguintes informações:
uma massa de gás fixa
à temperatura inicial
e pressão interna inicial
. Podemos aplicar e controlar uma força externa
no êmbolo (pistão). São pedidas duas coisas:
(a) Saber se é possível aumentar a temperatura até um valor mantendo a pressão interna constante quando o conjunto inteiro está perfeitamente isolado do ambiente externo e o gás é ideal.
(b) Se o gás sofre compressão politrópica com expoente , escrever uma expressão da nova altura do êmbolo em função das condições iniciais e da nova pressão
.
(a) Saber se é possível aumentar a temperatura até um valor
(b) Se o gás sofre compressão politrópica com expoente
Informações relevantes e que vamos usar: massa do gás
é constante; gás ideal obedece à lei dos gases ideais; “perfeitamente isolado” implica ausência de troca de calor com o ambiente (
); podemos controlar trabalho através da força
.
Passo 2
No item (a) vamos traduzir a pergunta para equações físicas simples e usar balanço de energia. Começo lembrando duas fórmulas fundamentais (vou explicar cada termo):
- Lei dos gases ideais, apropriada para massa fixa de gás:
onde
é a pressão interna,
o volume do gás,
a massa do gás e
a constante específica do gás (unidade:
). Essa equação diz que para um gás ideal, à pressão
fixa, o volume
é proporcional à temperatura
.
- Energia interna do gás ideal (por unidade de massa multiplicada por massa total):
onde
é o calor específico a volume constante (unidade:
). Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura.
Passo 3
Agora escrevo a Primeira Lei da Termodinâmica na forma conveniente para processos com trabalho mecânico do pistão:
onde
é a variação da energia interna do gás,
é o calor entra no sistema (positivo se entra) e
é o trabalho feito sobre o sistema pelo ambiente (positivo se o ambiente faz trabalho sobre o gás). Aqui o enunciado diz que o conjunto está perfeitamente isolado: portanto não há troca de calor térmico com o ambiente, isto é
Passo 4
Quando a pressão interna é mantida constante em um processo quasi-estático, o trabalho feito sobre o sistema é (trabalhando com sinais consistentes):
pois
é o trabalho realizado pelo gás; assim
é o negativo disso. Se a pressão é constante e a temperatura aumenta (
), a lei dos gases ideais dá:
Passo 5
Substituo
e a expressão de
na Primeira Lei:
Agora uso a relação obtida para
:
Passo 6
Simplificando a equação do passo anterior (dividindo por
e por
, tomando cuidado com o caso trivial
):
Mas
e
são quantidades positivas para um gás normal, logo essa igualdade é impossível. A única alternativa consistente é que o fator que dividimos seja zero, ou seja
.
Passo 7
Interpretação física e conclusão do item (a):
- A derivação mostrou que, sob as hipóteses dadas (gás ideal, massa fixa, sistema termicamente isolado
, processo quasi-estático a pressão constante interna), a única solução possível é . Ou seja, NÃO é possível aumentar a temperatura mantendo a pressão constante. Para aumentar mantendo constante seria necessário fornecer calor ao gás; como o sistema está isolado ( ), não há essa via. - Resumo intuitivo: manter pressão constante e aumentar temperatura requer expansão do volume (pela lei dos gases), mas essa expansão faz o gás realizar trabalho sobre o ambiente; sem fornecimento de calor, a energia interna só pode diminuir ou permanecer igual, então não dá para elevar a temperatura. (A única exceção seria um gás com propriedades termodinâmicas não convencionais ou adição/remoção de massa/energia interna de outras partes do conjunto, o que foge das hipóteses.)
Passo 8
Agora vamos ao item (b). O enunciado fala de um processo politrópico com expoente
. Definição e uso:
- Um processo politrópico é aquele em que existe constante
tal que
- Para dois estados inicial e final desse processo temos:
Passo 9
Relaciono volume ao deslocamento do êmbolo: o volume do gás no cilindro é a área da seção interna vezes a altura do pistão:
Como
depende só do diâmetro interno
(a espessura
não interfere no volume interno, pois
já é o diâmetro interno), temos
e
.
Passo 10
Substituo
e
na relação politrópica:
O fator
cancela dos dois lados, restando
Passo 11
Isolo
para obter a altura final do êmbolo em função de
,
,
e
:
Passo 12
Aplicando o valor numérico
(note que
), podemos escrever a expressão explícita:
Resposta
(a) Não — com o conjunto termicamente isolado (
) e gás ideal de massa fixa, não é possível aumentar a temperatura mantendo a pressão interna constante; a única solução consistente é
.
(b) . Para
:
.
(b)