Questão 4) Considere um conjunto cilindro-pistão com diâmetro interno D, espessura de parede t, altura inicial h_{0} e uma determinada massa de gás m à uma temperatura T_{0} e pressão interna P_{0}. Considere que é possível controlar uma força externa F aplicada ao êmbolo. Responda os seguintes itens: a) É possível aumentar a temperatura até um valor T mantendo a pressão interna constante se o conjunto inteiro estiver perfeitamente isolado do ambiente externo e o gás for considerado ideal? Explique [\mathbf{1 , 5}]. b) Se o gás é comprimido em um processo considerado politrópico com \mathrm{n}=1.2, escreva uma expressão para determinar a nova altura do êmbolo em função das condições iniciais e da nova pressão atingida, P .[\mathbf{1 , 5}].

Passo 1

O enunciado dá um cilindro com pistão com as seguintes informações:
\text{diâmetro interno }D,\quad \text{espessura da parede }t,\quad \text{altura inicial }h_{0},â
uma massa de gás fixa m à temperatura inicial T_{0} e pressão interna inicial P_{0}. Podemos aplicar e controlar uma força externa F no êmbolo (pistão). São pedidas duas coisas:
(a) Saber se é possível aumentar a temperatura até um valor T mantendo a pressão interna constante quando o conjunto inteiro está perfeitamente isolado do ambiente externo e o gás é ideal.
(b) Se o gás sofre compressão politrópica com expoente n=1{,}2, escrever uma expressão da nova altura do êmbolo em função das condições iniciais e da nova pressão P.
Informações relevantes e que vamos usar: massa do gás m é constante; gás ideal obedece à lei dos gases ideais; “perfeitamente isolado” implica ausência de troca de calor com o ambiente ( Q=0); podemos controlar trabalho através da força F.

Passo 2

No item (a) vamos traduzir a pergunta para equações físicas simples e usar balanço de energia. Começo lembrando duas fórmulas fundamentais (vou explicar cada termo):
  • Lei dos gases ideais, apropriada para massa fixa de gás:
P\,V = m\,R\,T,
onde P é a pressão interna, V o volume do gás, m a massa do gás e R a constante específica do gás (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Essa equação diz que para um gás ideal, à pressão P fixa, o volume V é proporcional à temperatura T.
  • Energia interna do gás ideal (por unidade de massa multiplicada por massa total):
U = m\,c_{v}\,T,
onde c_{v} é o calor específico a volume constante (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura.

Passo 3

Agora escrevo a Primeira Lei da Termodinâmica na forma conveniente para processos com trabalho mecânico do pistão:
\Delta U = Q + W_{\text{on}},
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor entra no sistema (positivo se entra) e W_{\text{on}} é o trabalho feito sobre o sistema pelo ambiente (positivo se o ambiente faz trabalho sobre o gás). Aqui o enunciado diz que o conjunto está perfeitamente isolado: portanto não há troca de calor térmico com o ambiente, isto é
Q = 0.

Passo 4

Quando a pressão interna é mantida constante em um processo quasi-estático, o trabalho feito sobre o sistema é (trabalhando com sinais consistentes):
W_{\text{on}} = -\int_{V_{0}}^{V} P\,\mathrm{d}V = -P\,(V - V_{0}),
pois \int P\,\mathrm{d}V é o trabalho realizado pelo gás; assim W_{\text{on}} é o negativo disso. Se a pressão é constante e a temperatura aumenta ( T>T_{0}), a lei dos gases ideais dá:
V - V_{0} = \frac{mR}{P}\,(T - T_{0}).

Passo 5

Substituo Q=0 e a expressão de W_{\text{on}} na Primeira Lei:
\Delta U = m\,c_{v}\,(T - T_{0}) = W_{\text{on}} = -P\,(V - V_{0}).
Agora uso a relação obtida para V-V_{0}:
m\,c_{v}\,(T - T_{0}) = -P\cdot\frac{mR}{P}\,(T - T_{0}).

Passo 6

Simplificando a equação do passo anterior (dividindo por m e por (T-T_{0}), tomando cuidado com o caso trivial T=T_{0}):
c_{v} = -R.
Mas c_{v} e R são quantidades positivas para um gás normal, logo essa igualdade é impossível. A única alternativa consistente é que o fator que dividimos seja zero, ou seja T-T_{0}=0.

Passo 7

Interpretação física e conclusão do item (a):
  • A derivação mostrou que, sob as hipóteses dadas (gás ideal, massa fixa, sistema termicamente isolado Q=0, processo quasi-estático a pressão constante interna), a única solução possível é T=T_{0}. Ou seja, NÃO é possível aumentar a temperatura mantendo a pressão constante. Para aumentar T mantendo P constante seria necessário fornecer calor ao gás; como o sistema está isolado ( Q=0), não há essa via.
  • Resumo intuitivo: manter pressão constante e aumentar temperatura requer expansão do volume (pela lei dos gases), mas essa expansão faz o gás realizar trabalho sobre o ambiente; sem fornecimento de calor, a energia interna só pode diminuir ou permanecer igual, então não dá para elevar a temperatura. (A única exceção seria um gás com propriedades termodinâmicas não convencionais ou adição/remoção de massa/energia interna de outras partes do conjunto, o que foge das hipóteses.)

Passo 8

Agora vamos ao item (b). O enunciado fala de um processo politrópico com expoente n=1{,}2. Definição e uso:
  • Um processo politrópico é aquele em que existe constante C tal que
P\,V^{n} = C.
  • Para dois estados inicial e final desse processo temos:
P_{0}\,V_{0}^{\,n} = P\,V^{\,n}.

Passo 9

Relaciono volume ao deslocamento do êmbolo: o volume do gás no cilindro é a área da seção interna vezes a altura do pistão:
V = A\,h,\quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Como A depende só do diâmetro interno D (a espessura t não interfere no volume interno, pois D já é o diâmetro interno), temos V_{0}=A\,h_{0} e V=A\,h.

Passo 10

Substituo V_{0}=A\,h_{0} e V=A\,h na relação politrópica:
P_{0}\,(A\,h_{0})^{n} = P\,(A\,h)^{n}.
O fator A^{n} cancela dos dois lados, restando
P_{0}\,h_{0}^{\,n} = P\,h^{\,n}.

Passo 11

Isolo h para obter a altura final do êmbolo em função de P, P_{0}, h_{0} e n:
h^{\,n} = h_{0}^{\,n}\,\frac{P_{0}}{P} \quad\Rightarrow\quad h = h_{0}\left(\frac{P_{0}}{P}\right)^{1/n}.

Passo 12

Aplicando o valor numérico n=1{,}2 (note que 1/1{,}2 = 5/6), podemos escrever a expressão explícita:
h = h_{0}\left(\frac{P_{0}}{P}\right)^{5/6}.

Resposta

(a) Não — com o conjunto termicamente isolado ( Q=0) e gás ideal de massa fixa, não é possível aumentar a temperatura mantendo a pressão interna constante; a única solução consistente é \Delta T=0.
(b) \displaystyle h = h_{0}\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right)^{1/n}. Para n=1{,}2: \displaystyle h = h_{0}\left(\dfrac{P_{0}}{P}\right)^{5/6}.

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