Escolha um dos itens a seguir e encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, encontre os valores de máximo e mínimos locais de f , diga em quais intervalos a função tem concavidade para cima ou para baixo e por fim escreva quais são os pontos de inflexão.
f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
f(x)=2x^{3}+3x^{2}-36x.
O enunciado pede:
  • Determinar os intervalos em que f é crescente e decrescente.
  • Encontrar os valores de máximos e mínimos locais de f (os pontos e os valores).
  • Dizer em quais intervalos a função tem concavidade para cima e para baixo.
  • Indicar os pontos de inflexão da função.

Passo 2

Primeiro fundamento necessário: para saber onde f cresce ou decresce usamos a derivada primeira f'(x). Regra que vamos usar (regra do potenciamento / power rule): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicam normalmente. Aplicando isso a f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(36x\bigr).
Calculando cada termo com a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot 2x=6x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(36x\bigr)=36.
Portanto
f'(x)=6x^{2}+6x-36.

Passo 3

Para achar pontos críticos (candidatos a máximos/minimos) resolvemos f'(x)=0. Primeiro fatoro f'(x) para simplificar:
f'(x)=6x^{2}+6x-36=6\bigl(x^{2}+x-6\bigr).
Agora fatoro o polinômio quadrático x^{2}+x-6. Procuro dois números cujo produto seja -6 e soma seja 1: são 3 e -2. Assim
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2),
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f'(x)=6(x+3)(x-2).
Agora resolvo f'(x)=0:
6(x+3)(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \quad\text{ou}\quad x=2.
Portanto os pontos críticos são x=-3 e x=2.

Passo 4

Para decidir onde f é crescente ou decrescente uso o sinal de f'(x). Método: faço um estudo de sinal dos fatores de f'(x)=6(x+3)(x-2). O factor constante 6 é sempre positivo, então só interessam os sinais de (x+3) e (x-2).
Intervalos naturais determinados pelos pontos críticos: (-\infty,-3), (-3,2) e (2,\infty).
Escolho um ponto teste em cada intervalo e verifico o sinal de f'(x):
  • Em x=-4\in(-\infty,-3): (x+3)=-1 (negativo), (x-2)=-6 (negativo). Produto de dois negativos é positivo, então f'(-4)>0. Conclusão: em (-\infty,-3) temos f'(x)>0 f crescente.
  • Em x=0\in(-3,2): (x+3)=3 (positivo), (x-2)=-2 (negativo). Produto positivo × negativo = negativo, então f'(0)<0. Conclusão: em (-3,2) temos f'(x)<0 f decrescente.
  • Em x=3\in(2,\infty): (x+3)=6 (positivo), (x-2)=1 (positivo). Produto positivo → f'(3)>0. Conclusão: em (2,\infty) temos f'(x)>0 f crescente.
Resumo do comportamento crescente/decrescente (resultado já concluído pelas verificações acima):
  • f cresce em (-\infty,-3) e em (2,\infty).
  • f decresce em (-3,2).

Passo 5

Determinar máximos e mínimos locais usando as mudanças de sinal de f'.
  • Em x=-3 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): isso indica que f tem um máximo local em x=-3.
  • Em x=2 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): isso indica que f tem um mínimo local em x=2.
Agora calculo os valores de f nesses pontos (para dar as coordenadas dos extremos). Uso a função original.
Calculo f(-3):
f(-3)=2(-3)^{3}+3(-3)^{2}-36(-3).
Fazendo passo a passo:
(-3)^{3}=-27,\quad 2\cdot(-27)=-54;
(-3)^{2}=9,\quad 3\cdot 9=27;
-36\cdot(-3)=+108.
Somando:
f(-3)=-54+27+108=81.
Calculo f(2):
f(2)=2(2)^{3}+3(2)^{2}-36(2).
Passo a passo:
2^{3}=8,\quad 2\cdot 8=16;
2^{2}=4,\quad 3\cdot4=12;
-36\cdot 2=-72.
Somando:
f(2)=16+12-72=-44.
Portanto:
  • Máximo local em x=-3 com valor f(-3)=81 (ponto (-3,81)).
  • Mínimo local em x=2 com valor f(2)=-44 (ponto (2,-44)).

Passo 6

Para concavidade e pontos de inflexão usamos a derivada segunda f''(x). Lembrete: a derivada segunda é a derivada da derivada primeira; seu sinal indica concavidade: se f''(x)>0 então f é côncava para cima (como uma tigela), se f''(x)<0 então côncava para baixo. Mudanças de sinal de f'' em um ponto onde f''=0 (e que seja regular) indicam ponto de inflexão.
Calculando f''(x) a partir de f'(x)=6x^{2}+6x-36:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}+6x-36\bigr)=12x+6.

Passo 7

Achar onde f''(x)=0:
12x+6=0 \quad\Rightarrow\quad 12x=-6 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Agora estudo o sinal de f''(x)=12x+6 nos intervalos determinados por x=-\tfrac{1}{2}:
  • Para x<-\tfrac{1}{2} (por exemplo x=-1): f''(-1)=12(-1)+6=-12+6=-6<0. Logo f''(x)<0 em (-\infty,-\tfrac{1}{2}) → concavidade para baixo.
  • Para x>-\tfrac{1}{2} (por exemplo x=0): f''(0)=6>0. Logo f''(x)>0 em (-\tfrac{1}{2},\infty) → concavidade para cima.
Como f'' muda de sinal em x=-\tfrac{1}{2} (de negativo para positivo), esse ponto é um ponto de inflexão.

Passo 8

Calcular a ordenada (valor de f) no ponto de inflexão x=-\tfrac{1}{2}. Usando f(x):
f\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=2\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}+3\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}-36\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr).
Calculo passo a passo:
\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{3}=-\tfrac{1}{8},\quad 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{8}\bigr)=-\tfrac{1}{4}.
\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4},\quad 3\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
-36\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=+18.
Somando as parcelas (uso frações):
-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}+18=\tfrac{2}{4}+18=\tfrac{1}{2}+18=\tfrac{37}{2}.
Portanto o ponto de inflexão é \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{37}{2}\bigr).

Resposta

Crescente em (-\infty,-3) e em (2,\infty).
Decrescente em (-3,2).
Máximo local: ponto (-3,81).
Mínimo local: ponto (2,-44).
Concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{2}).
Concavidade para cima em (-\tfrac{1}{2},\infty).
Ponto de inflexão: \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{37}{2}\bigr).

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