Escolha um dos itens a seguir e encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, encontre os valores de máximo e mínimos locais de f , diga em quais intervalos a função tem concavidade para cima ou para baixo e por fim escreva quais são os pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
O enunciado pede:
- Determinar os intervalos em que
é crescente e decrescente. - Encontrar os valores de máximos e mínimos locais de
(os pontos e os valores). - Dizer em quais intervalos a função tem concavidade para cima e para baixo.
- Indicar os pontos de inflexão da função.
Passo 2
Primeiro fundamento necessário: para saber onde
cresce ou decresce usamos a derivada primeira
. Regra que vamos usar (regra do potenciamento / power rule): se
então
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes multiplicam normalmente. Aplicando isso a
:
Calculando cada termo com a regra do expoente:
Portanto
Passo 3
Para achar pontos críticos (candidatos a máximos/minimos) resolvemos
. Primeiro fatoro
para simplificar:
Agora fatoro o polinômio quadrático
. Procuro dois números cujo produto seja
e soma seja
: são
e
. Assim
logo
Agora resolvo
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para decidir onde
é crescente ou decrescente uso o sinal de
. Método: faço um estudo de sinal dos fatores de
. O factor constante
é sempre positivo, então só interessam os sinais de
e
.
Intervalos naturais determinados pelos pontos críticos:
,
e
.
Escolho um ponto teste em cada intervalo e verifico o sinal de
:
-
Em
: (negativo), (negativo). Produto de dois negativos é positivo, então . Conclusão: em temos → crescente. -
Em
: (positivo), (negativo). Produto positivo × negativo = negativo, então . Conclusão: em temos → decrescente. -
Em
: (positivo), (positivo). Produto positivo → . Conclusão: em temos → crescente.
Resumo do comportamento crescente/decrescente (resultado já concluído pelas verificações acima):
-
cresce em e em . -
decresce em .
Passo 5
Determinar máximos e mínimos locais usando as mudanças de sinal de
.
-
Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita): isso indica que tem um máximo local em . -
Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita): isso indica que tem um mínimo local em .
Agora calculo os valores de
nesses pontos (para dar as coordenadas dos extremos). Uso a função original.
Calculo
:
Fazendo passo a passo:
Somando:
Calculo
:
Passo a passo:
Somando:
Portanto:
- Máximo local em
com valor (ponto ). - Mínimo local em
com valor (ponto ).
Passo 6
Para concavidade e pontos de inflexão usamos a derivada segunda
. Lembrete: a derivada segunda é a derivada da derivada primeira; seu sinal indica concavidade: se
então
é côncava para cima (como uma tigela), se
então côncava para baixo. Mudanças de sinal de
em um ponto onde
(e que seja regular) indicam ponto de inflexão.
Calculando
a partir de
:
Passo 7
Achar onde
:
Agora estudo o sinal de
nos intervalos determinados por
:
-
Para
(por exemplo ): . Logo em → concavidade para baixo. -
Para
(por exemplo ): . Logo em → concavidade para cima.
Como
muda de sinal em
(de negativo para positivo), esse ponto é um ponto de inflexão.
Passo 8
Calcular a ordenada (valor de
) no ponto de inflexão
. Usando
:
Calculo passo a passo:
Somando as parcelas (uso frações):
Portanto o ponto de inflexão é
.
Resposta
Crescente em
e em
.
Decrescente em .
Máximo local: ponto .
Mínimo local: ponto .
Concavidade para baixo em .
Concavidade para cima em .
Ponto de inflexão: .
Decrescente em
Máximo local: ponto
Mínimo local: ponto
Concavidade para baixo em
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão: