Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
Pede para calcular a(s) derivada(s). Vou escolher dois “itens” úteis para estudar e que ajudam na prova:
- Item A: calcular a derivada de
. - Item B: calcular a derivada da função interna
(útil como passo intermédio e também requisitado como segundo item).
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicações didáticas):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
em relação a
.
- Regra da cadeia: se
(ou seja, composição de com ), então
Isso quer dizer: primeiro deriva a função externa
em seu argumento e depois multiplica pela derivada do argumento
.
- Derivada da exponencial: para
(com constante),
- Derivada da função arco-seno: para
,
Se tivermos
, aplicamos a regra da cadeia: a derivada é
.
Passo 3
Identificar as funções para aplicar o produto:
Agora calculo as derivadas separadamente.
Derivada de
:
pois a derivada de
é
.
Derivada de
(aqui aplico cadeia):
- A função externa é
com derivada . - O argumento é
com derivada .
Pelo produto da cadeia:
Observação de domínio: a expressão
exige
, ou seja
. A derivada acima é válida em
(onde o denominador é positivo).
Passo 4
Aplicar a regra do produto para
:
Substituindo as derivadas encontradas:
Passo 5
Fatorando
(é uma simplificação útil e deixa a resposta mais “limpa”):
válida para
.
Dica prática para a prova: identifique sempre primeiro as partes do produto, calcule as derivadas de cada parte separadamente (principalmente as derivadas de funções compostas usando cadeia) e só depois combine usando produto; ao final, tente fatorar termos comuns (aqui
) para deixar a resposta mais compacta.