Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
f(x)=e^{3 x} \operatorname{arcsen}(2 x).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=e^{3x}\,\operatorname{arcsen}(2x).
Pede para calcular a(s) derivada(s). Vou escolher dois “itens” úteis para estudar e que ajudam na prova:
  • Item A: calcular a derivada de f(x)=e^{3x}\,\operatorname{arcsen}(2x).
  • Item B: calcular a derivada da função interna \operatorname{arcsen}(2x) (útil como passo intermédio e também requisitado como segundo item).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v em relação a x.
  • Regra da cadeia: se h(x)=H(G(x)) (ou seja, composição de H com G), então
h'(x)=H'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Isso quer dizer: primeiro deriva a função externa H em seu argumento e depois multiplica pela derivada do argumento G(x).
  • Derivada da exponencial: para u(x)=e^{k x} (com k constante),
u'(x)=k\,e^{k x}.
  • Derivada da função arco-seno: para w(x)=\operatorname{arcsen}(x),
w'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad\text{para }|x|<1.
Se tivermos \operatorname{arcsen}(g(x)), aplicamos a regra da cadeia: a derivada é g'(x)/\sqrt{1-(g(x))^{2}}.

Passo 3

Identificar as funções para aplicar o produto:
u(x)=e^{3x},\qquad v(x)=\operatorname{arcsen}(2x).
Agora calculo as derivadas separadamente.
Derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x},
pois a derivada de e^{kx} é k e^{kx}.
Derivada de v(x)=\operatorname{arcsen}(2x) (aqui aplico cadeia):
  • A função externa é \operatorname{arcsen}(z) com derivada 1/\sqrt{1-z^{2}}.
  • O argumento é z=2x com derivada z'=2.
    Pelo produto da cadeia:
v'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Observação de domínio: a expressão \operatorname{arcsen}(2x) exige |2x|\le 1, ou seja |x|\le \tfrac{1}{2}. A derivada acima é válida em |x|<\tfrac{1}{2} (onde o denominador é positivo).

Passo 4

Aplicar a regra do produto para f(x)=u(x)v(x):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo as derivadas encontradas:
f'(x)=\big(3e^{3x}\big)\,\operatorname{arcsen}(2x)+e^{3x}\,\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.

Passo 5

Fatorando e^{3x} (é uma simplificação útil e deixa a resposta mais “limpa”):
f'(x)=e^{3x}\left(3\,\operatorname{arcsen}(2x)+\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}\right),
válida para |x|<\tfrac{1}{2}.
Dica prática para a prova: identifique sempre primeiro as partes do produto, calcule as derivadas de cada parte separadamente (principalmente as derivadas de funções compostas usando cadeia) e só depois combine usando produto; ao final, tente fatorar termos comuns (aqui e^{3x}) para deixar a resposta mais compacta.

Resposta

f'(x)=e^{3x}\left(3\,\operatorname{arcsen}(2x)+\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}\right)
\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen}(2x)\big)=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}

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