1. Um escoteiro, ao fazer um exercício de marcha com seu pelotão, parte de um ponto P e sofre a seguinte sequência de deslocamentos:
    I. 300 m para o Oeste;
    II. 800 m para o Norte;
    III. 400 m para o Sul.
Sabendo que a duração da marcha é de 4 min 10 s e que o escoteiro atinge um ponto Q, determine no SI o módulo de sua velocidade vetorial média.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Deslocamentos realizados, em ordem:
    1. 300\\ \mathrm{m} para o Oeste;
    2. 800\\ \mathrm{m} para o Norte;
    3. 400\\ \mathrm{m} para o Sul.
  • Duração total da marcha: 4\\ \text{min }10\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta: determinar, no SI, o módulo da velocidade vetorial média do escoteiro (ou seja, o valor numérico da velocidade média com unidades do SI).

Passo 2

Escolha de sistema de referência e interpretação das direções:
  • Vou usar um sistema cartesiano bidimensional: o eixo x horizontal (positivo para Leste) e o eixo y vertical (positivo para Norte).
  • Assim, deslocamentos para Oeste serão componentes negativas em x e deslocamentos para Norte/Sul serão componentes positivas/negativas em y.
  • (Esta convenção de orientações corresponde à rosa-dos-ventos mostrada na figura.)

Passo 3

Definir matematicamente deslocamentos e componentes:
  • Denotar o vetor deslocamento total por \Delta \vec{r}.
  • A componente horizontal (no eixo x) será \Delta x. A componente vertical (no eixo y) será \Delta y.
  • Cada trecho contribui:
    • I: 300\\ \mathrm{m} para Oeste \Rightarrow contribuição em x igual a -300\\ \mathrm{m}.
    • II: 800\\ \mathrm{m} para Norte \Rightarrow contribuição em y igual a +800\\ \mathrm{m}.
    • III: 400\\ \mathrm{m} para Sul \Rightarrow contribuição em y igual a -400\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as componentes do deslocamento resultante:
  • Somando contribuições em x: \Delta x = -300\\ \mathrm{m}.
  • Somando contribuições em y: \Delta y = 800\\ \mathrm{m} + (-400\\ \mathrm{m}) = 400\\ \mathrm{m}.
  • Então o vetor deslocamento total é \Delta \vec{r} = (\Delta x,\Delta y)=(-300\\ \mathrm{m},\,400\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Calcular o módulo (comprimento) do deslocamento resultante:
  • Para um vetor em duas dimensões, o módulo é dado pelo teorema de Pitágoras: |\Delta \vec{r}|=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}.
  • Substituindo os valores: |\Delta \vec{r}|=\sqrt{(-300\\ \mathrm{m})^{2}+(400\\ \mathrm{m})^{2}} =\sqrt{90000\\ \mathrm{m}^{2}+160000\\ \mathrm{m}^{2}} =\sqrt{250000\\ \mathrm{m}^{2}} =500\\ \mathrm{m}.
  • Observação amistosa: este é um triângulo 3{:}4{:}5, por isso o resultado é 500\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter o tempo para unidades SI e lembrar a definição de velocidade vetorial média:
  • Converter 4\\ \text{min }10\\ \mathrm{s} para segundos: \Delta t = 4\times 60\\ \mathrm{s} + 10\\ \mathrm{s} = 240\\ \mathrm{s} + 10\\ \mathrm{s} = 250\\ \mathrm{s}.
  • A velocidade vetorial média \bar{\vec{v}} é definida por \bar{\vec{v}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t},e o módulo da velocidade média é |\bar{\vec{v}}|=\frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}.Aqui |\Delta \vec{r}| é o módulo do deslocamento (em metros) e \Delta t é o intervalo de tempo (em segundos), portanto a unidade resultante será \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular numericamente o módulo da velocidade vetorial média:
  • Substituindo valores: |\bar{\vec{v}}|=\frac{500\\ \mathrm{m}}{250\\ \mathrm{s}}=2\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

2\\ \mathrm{m/s}

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