Questão 1(3,5)

Um bloco é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração de 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal vale 60^{\circ}. Dados \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 60^{\circ}=0,5, sen 60^{\circ}=\sqrt{ } 3 / 2, \sqrt{ } 3=1,73. Determine:
a) (2,0) O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado.
b) (1,5) O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado no repouso.

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco que é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração 6\\ \mathrm{m/s^{2}}. O plano faz ângulo 60^\circ com a horizontal. Valores fornecidos:
  • a=6\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração do bloco para baixo ao longo do plano);
  • \theta=60^\circ;
  • g=10\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • \cos 60^\circ=0,5;
  • \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e foi dado \sqrt{3}=1,73, logo \sin 60^\circ=1,73/2=0,865.
O que o problema pede:
  • (a) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado;
  • (b) o coeficiente de atrito estático mínimo para que o bloco esteja prestes a se mover quando abandonado em repouso.

Passo 2

Vamos entender as forças atuando no bloco (descrição e definições das grandezas que usaremos).
  • Peso: \vec{P}=m\vec{g}. A componente do peso paralela ao plano (tendência a deslizar para baixo) é P_{\parallel}=mg\sin\theta.
  • Normal ao plano: N. A componente do peso perpendicular ao plano é P_{\perp}=mg\cos\theta, e em ausência de outras forças verticais N=mg\cos\theta.
  • Atrito cinético: quando o bloco desliza, a força de atrito cinético tem magnitude f_k=\mu_k N e direção oposta ao movimento relativo (aqui, para cima do plano). \mu_k é o coeficiente de atrito cinético que queremos achar.
Explicando a ideia física: o bloco acelera para baixo com a. A soma das forças ao longo do plano (positiva para baixo) é mg\sin\theta - f_k. Pela segunda lei de Newton:
mg\sin\theta - f_k = ma.
Substituindo f_k=\mu_k N=\mu_k mg\cos\theta obtemos uma equação que relaciona \mu_k, as conhecidas g,\theta,a e m. Note que o m aparece em todos os termos e se cancela — boa notícia: o coeficiente independe da massa.

Passo 3

Escrever e isolar \mu_k passo a passo.
mg\sin\theta - \mu_k mg\cos\theta = ma.
Dividindo ambos os lados por m:
g\sin\theta - \mu_k g\cos\theta = a.
Isolando \mu_k:
\mu_k g\cos\theta = g\sin\theta - a \quad\Rightarrow\quad \mu_k = \frac{g\sin\theta - a}{g\cos\theta}.
Agora substituímos os números dados (usando \sin 60^\circ=0,865 e \cos 60^\circ=0,5):
g\sin\theta = 10 \times 0,865 = 8,65.
g\cos\theta = 10 \times 0,5 = 5.
g\sin\theta - a = 8,65 - 6 = 2,65.
\mu_k = \frac{2,65}{5} = 0,53.
Interpretação: \mu_k\approx 0,53. Significa que o atrito cinético é suficientemente grande para reduzir a componente do peso de 8,65\\ \mathrm{N/kg} até produzir uma aceleração de 6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Agora a parte (b): coeficiente de atrito estático para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado em repouso.
Conceito: quando o bloco está em repouso, a força de atrito estático pode variar até um máximo f_{s,\max}=\mu_s N. No limite em que o bloco está “prestes a se mover”, a componente do peso paralela ao plano é exatamente equilibrada pelo atrito estático máximo:
mg\sin\theta = f_{s,\max} = \mu_s N = \mu_s mg\cos\theta.
Cancelando m e g:
\mu_s = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Para \theta=60^\circ temos \tan 60^\circ=\sqrt{3}. Usando \sqrt{3}=1,73 (dado):
\mu_s = 1,73.
Interpretação prática: se \mu_s for igual ou maior que 1,73 o bloco permanecerá em repouso quando abandonado; se for menor, ele deslizará.

Resposta

\mu_k = 0,53
\mu_s = 1,73

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