Questão
Um bloco é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração de
. O ângulo que o plano inclinado faz com a horizontal vale
. Dados
, sen
,
. Determine:
a)
O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado.
b)
O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano inclinado para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado no repouso.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá um bloco que é abandonado do repouso e desce um plano inclinado com aceleração
. O plano faz ângulo
com a horizontal. Valores fornecidos:
-
(aceleração do bloco para baixo ao longo do plano); -
; -
; -
; -
e foi dado , logo .
O que o problema pede:
- (a) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado;
- (b) o coeficiente de atrito estático mínimo para que o bloco esteja prestes a se mover quando abandonado em repouso.
Passo 2
Vamos entender as forças atuando no bloco (descrição e definições das grandezas que usaremos).
- Peso:
. A componente do peso paralela ao plano (tendência a deslizar para baixo) é . - Normal ao plano:
. A componente do peso perpendicular ao plano é , e em ausência de outras forças verticais . - Atrito cinético: quando o bloco desliza, a força de atrito cinético tem magnitude
e direção oposta ao movimento relativo (aqui, para cima do plano). é o coeficiente de atrito cinético que queremos achar.
Explicando a ideia física: o bloco acelera para baixo com
. A soma das forças ao longo do plano (positiva para baixo) é
. Pela segunda lei de Newton:
Substituindo
obtemos uma equação que relaciona
, as conhecidas
e
. Note que o
aparece em todos os termos e se cancela — boa notícia: o coeficiente independe da massa.
Passo 3
Escrever e isolar
passo a passo.
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Agora substituímos os números dados (usando
e
):
Interpretação:
. Significa que o atrito cinético é suficientemente grande para reduzir a componente do peso de
até produzir uma aceleração de
.
Passo 4
Agora a parte (b): coeficiente de atrito estático para que o bloco fique prestes a se mover ao ser abandonado em repouso.
Conceito: quando o bloco está em repouso, a força de atrito estático pode variar até um máximo . No limite em que o bloco está “prestes a se mover”, a componente do peso paralela ao plano é exatamente equilibrada pelo atrito estático máximo:
Conceito: quando o bloco está em repouso, a força de atrito estático pode variar até um máximo
Cancelando
e
:
Para
temos
. Usando
(dado):
Interpretação prática: se
for igual ou maior que
o bloco permanecerá em repouso quando abandonado; se for menor, ele deslizará.