Escreva a equação do círculo dado na forma reduzida e determine o raio e as coordenadas do centro, se possível.
(f) 4 x^{2}+4 y^{2}-2 y+7=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral
4x^{2}+4y^{2}-2y+7=0
e pede para escrevê-la na forma reduzida de círculo, isto é
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},
e então identificar o centro (a,b) e o raio r, se possível. Para isso vamos dividir por 4 e completar quadrados.

Passo 2

Dividindo toda a equação por 4 para igualar os coeficientes de x^{2} e y^{2}:
x^{2}+y^{2}-\tfrac{2}{4}\,y+\tfrac{7}{4}=0
que simplifica para
x^{2}+y^{2}-\tfrac12\,y+\tfrac{7}{4}=0.

Passo 3

Isolamos os termos em x e em y:
x^{2}+\bigl(y^{2}-\tfrac12\,y\bigr)=-\tfrac{7}{4}.

Passo 4

Para completar o quadrado em y, note que em \,y^{2}-\tfrac12\,y, o coeficiente linear é -\tfrac12, então metade disso é -\tfrac14 e seu quadrado é \bigl(\tfrac14\bigr)^{2}=\tfrac{1}{16}. Assim:
y^{2}-\tfrac12\,y =\bigl(y-\tfrac14\bigr)^{2}-\tfrac{1}{16}.
Substituindo na equação e ajustando o lado direito:
x^{2}+\Bigl(y-\tfrac14\Bigr)^{2}-\tfrac{1}{16}=-\tfrac{7}{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+\Bigl(y-\tfrac14\Bigr)^{2} =-\tfrac{7}{4}+\tfrac{1}{16} =-\tfrac{28}{16}+\tfrac{1}{16} =-\tfrac{27}{16}.

Passo 5

Chegamos à forma reduzida
x^{2}+\Bigl(y-\tfrac14\Bigr)^{2}=-\tfrac{27}{16}.
Comparando com (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, teríamos centro \,(a,b)=(0,\tfrac14) e r^{2}=-\tfrac{27}{16}. Como r^{2}<0, não existe raio real e, portanto, não há círculo real associado a essa equação.

Resposta

Forma reduzida (formal):
x^{2}+\Bigl(y-\tfrac14\Bigr)^{2}=-\tfrac{27}{16}.
Centro teórico \bigl(0,\tfrac14\bigr), mas não há raio real r^{2}<0, logo não se trata de um círculo real.

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