Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos e .
(a) Verifique se o ponto está nesse plano.
Resposta: O ponto pertence ao plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Depois disso, vamos verificar se o ponto também está nesse plano. Para isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial para encontrar a normal do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Vamos usar os pontos , e para isso. Um jeito fácil é criar vetores a partir desses pontos:
Passo 3
Agora que temos os vetores e , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando isso:
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, 0(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
0 + 0 + z = 0
Substituindo os valores:
z = 0
Então, a equação geral do plano é .
Passo 5
Agora, vamos verificar se o ponto z = 0 está nesse plano. Para isso, basta substituir as coordenadas de 0 = 0 na equação do plano e ver se a igualdade é verdadeira.
Para o ponto , . Substituindo:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano.