Escreva a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(2,1,0), B=(1,2,0) e C=(1,1,0).
(a) Verifique se o ponto D=(4,4,0) está nesse plano.
Resposta: O ponto D pertence ao plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Depois disso, vamos verificar se o ponto também está nesse plano. Para isso, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial para encontrar a normal do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Vamos usar os pontos AB = B - A = (1-2, 2-1, 0-0) = (-1, 1, 0) , AC = C - A = (1-2, 1-1, 0-0) = (-1, 0, 0) e para isso. Um jeito fácil é criar vetores a partir desses pontos:

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC e n = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 = (1 cdot 0 - 0 cdot 0)i - (-1 cdot 0 - 0 cdot -1)j + (-1 cdot 0 - 1 cdot -1)k = (0)i - (0)j + (1)k = (0, 0, 1) , precisamos encontrar um vetor normal ao plano. Para isso, usamos o produto vetorial entre e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando isso:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, 0(x - 2) + 0(y - 1) + 1(z - 0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano é dada por:
0 + 0 + z = 0
Substituindo os valores:
z = 0
Então, a equação geral do plano é .

Passo 5

Agora, vamos verificar se o ponto z = 0 está nesse plano. Para isso, basta substituir as coordenadas de 0 = 0 na equação do plano e ver se a igualdade é verdadeira.
Para o ponto , . Substituindo:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano.

Resposta

O ponto pertence ao plano.

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