Escreva a equação de movimento para uma massa 
  suspensa por uma mola de constante de força 
 . Mostre que 
 , onde 
 , obedece a equação para um oscilador com frequência angular 
  na ausência de gravidade. Interprete a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a equação de movimento para uma massa 
  pendurada em uma mola com constante de força 
 . Depois, temos que mostrar que, se definirmos 
 , onde 
 , essa nova posição 
  satisfaz a equação de um oscilador com frequência angular 
  na ausência da gravidade. Basicamente, vamos trabalhar com movimentos oscilatórios e a interação entre a mola e a força da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa vezes a aceleração dele: 
 . No nosso caso, a força resultante é a força da mola menos o peso da massa.
Passo 3
A força da mola, segundo a Lei de Hooke, é 
 , onde 
  é o deslocamento da posição de equilíbrio. O negativo indica que a força sempre puxa de volta para a posição de equilíbrio.
Passo 4
O peso da massa é 
 , atuando para baixo. Então, a força resultante fica:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 6
Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos relacionados a 
 :
Passo 7
Agora, vamos definir 
 , onde 
  é a posição de equilíbrio devido à gravidade. Sabemos que em equilíbrio, a força da mola iguala o peso:
Passo 8
Substituindo 
  na equação de movimento:
Como 
  é constante, suas derivadas são zero:
Passo 9
Substituindo 
 :
Simplificando:
Passo 10
Agora, 
  cancela dos dois lados:
Isso é a equação de um oscilador harmônico simples, onde a frequência angular é 
 .
Resposta
A equação de movimento para a massa 
  suspensa pela mola é:
Definindo 
 , a equação se torna:
onde 
 . Isso mostra que, ao considerar a posição relativa à posição de equilíbrio causada pela gravidade, o sistema se comporta como um oscilador harmônico simples com frequência angular 
  na ausência da força gravitacional.