Escreva as equações para o cálculo dos módulos de resiliência e tenacidade e comente sobre a aplicabilidade destas equações no projeto mecânico.
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Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo duas coisas:
  1. “Equações para o cálculo dos módulos de resiliência e tenacidade” – ou seja, as fórmulas que dão a energia por volume que um material absorve até o limite elástico (resiliência) e até fraturar (tenacidade).
  2. Um comentário de como essas fórmulas valem na prática de projeto mecânico.
O conteúdo é de Mecânica dos Materiais, mais especificamente energia de deformação (área sob a curva tensão–deformação). Pra resolver, vamos precisar de:
  • σ (tensão), ε (deformação), E (módulo de Young), σ_y (tensão de escoamento), σ_u (tensão máxima) e ε_f (deformação na fratura).

Passo 2

Teoria da resiliência:
A resiliência (U_r) é a energia por unidade de volume que o material absorve até atingir o limite elástico. Graficamente, é a área sob a reta tensão–deformação desde ε=0 até ε=ε_e (deformação de escoamento).
Como na região elástica σ=E·ε, temos:
Ur ;=;integral0^varepsilonesigma,dvarepsilon ;=;integral0^sigmay/EE,varepsilon,dvarepsilon ;=;sigmay^22,E

Passo 3

Teoria da tenacidade:
A tenacidade (U_t) é a energia por volume até a fratura, ou seja, toda a área sob a curva tensão–deformação de 0 até ε_f:
Ut ;=;integral0^varepsilonfsigma(varepsilon),dvarepsilon
Na prática, como o gráfico pode ser complexo, uma aproximação comum é dividir em dois trechos (elástico e plástico) e somar as áreas. Por exemplo, se considerarmos elástico até σ_y e, depois, um trecho médio aproximado até σ_u e ε_f, dá pra usar:
Ut approx sigmay^22E ;+;l(sigmau+sigmayr)2,l(varepsilonf - sigmayEr)
Mas, em geral, o conceito principal é que U_t = ∫σ dε até ε_f.

Passo 4

Aplicabilidade no projeto mecânico:
  • Resiliência (U_r): fundamental pra componentes que sofrem choques ou vibrações rápidas (molas, parafusos sujeitos a impacto, engrenagens em desaceleração). Um material com alta U_r aguenta absorver energia sem deformar permanentemente.
  • Tenacidade (U_t): importante pra evitar fraturas catastróficas, especialmente em estruturas sujeitas a carregamentos lentos ou combinação de esforços (eixos, vigas, carcaças). Materiais tenazes suportam mais deformação plástica antes de quebrar, dando “aviso” antes da falha.

Resposta

Equações:
boxedUr = sigmay^22E e boxedUt = integral0^varepsilonfsigma(varepsilon),dvarepsilon approx sigmay^22E + (sigmau+sigmay)2l(varepsilonf - sigmayEr)
Aplicabilidade:
  • U_r para projeto contra impactos e vibrações (molas, sistemas de amortecimento).
  • U_t para garantir tenacidade e prevenir falhas frágeis em componentes estruturais.

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