Escreva as equações e condições necessárias para encontrar a distribuição de temperatura para um fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixa, uma com uma temperatura To e a outra com T1.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento plenamente desenvolvido entre duas placas paralelas, com as placas mantidas em temperaturas fixas e diferentes: uma placa com temperatura \(T_0) e a outra com temperatura \(T_1). O pedido é: escrever as equações e as condições necessárias para encontrar a distribuição de temperatura no fluido entre as placas.
Informações/condições fornecidas (retiradas do enunciado):
  • Geometria: duas placas paralelas com separação total \(2h) (ou seja, placas em y=-h e y=+h).
  • Temperaturas das paredes: \(T(x,y=\\ -h)=T_0) e \(T(x,y=+h)=T_1) (constantes).
  • Escoamento plenamente desenvolvido (velocidade dependente só de y, não de x).
  • Objetivo: equações e condições necessárias para obter \(T(x,y)).

Passo 2

Escolhas/pressupostos padrão (não foi pedido detalhar, mas são necessários para escrever as equações):
  • Fluido incompressível e newtoniano com propriedades constantes: massa específica \(\rho), capacidade térmica \(c_p), condutividade térmica \(k). Difusividade térmica \(\alpha = \dfrac{k}{\rho c_p}).
  • Escoamento estacionário (estado permanente).
  • Sem geração interna de calor volumétrica.
  • Dissipação viscosa desprezível (ou tratada separadamente se for importante).
  • Em escoamento plenamente desenvolvido hidrodinamicamente: velocidade axial u=u(y) e componente transversal v=0.
Esses pressupostos permitem escrever a equação de energia e usar o perfil de velocidade parabólico de Poiseuille para substituir u(y).

Passo 3

Derivando o perfil de velocidade (para usar na equação de energia): partir da equação de Navier–Stokes para escoamento unidimensional plenamente desenvolvido (pressão varia em x, u=u(y), v=0):
\frac{d p}{d x} = \mu \frac{d^2 u}{d y^2}.
Integrando duas vezes e impondo condição de não deslizamento nas paredes u(\pm h)=0 obtém-se a forma parabólica:
u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\left(y^2-h^2\right).
É comum reescrever em termos da velocidade máxima U_{max} no centro ( y=0):
u(y)=U_{max}\left(1-\frac{y^2}{h^2}\right), \qquad U_{max}=-\frac{h^2}{2\mu}\frac{d p}{d x}.
Aqui \(\mu) é a viscosidade dinâmica e \(dp/dx) é a queda de pressão (normalmente negativa para escoamento no sentido positivo x).

Passo 4

Escrevendo a equação de energia geral (estado estacionário, incompressível, sem geração interna, com termo convectivo e condutivo):
\rho c_p\left(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}\right) = k\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right).
Com v=0 e substituindo u=u(y) e, assumindo que a condução axial é desprezível frente à convecção axial (válido para \mathrm{Pe}\gg1), a equação reduzida fica:
\rho c_p\,u(y)\frac{\partial T}{\partial x} = k\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
Usando \(\alpha=\dfrac{k}{\rho c_p}) obtemos a forma usual:
u(y)\frac{\partial T}{\partial x} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
Observação didática: cada termo significa:
  • u(y)\partial T/\partial x: transporte convectivo da variação de temperatura ao longo do ducto;
  • \alpha \partial^2 T/\partial y^2: difusão térmica no sentido transversal entre as placas.

Passo 5

Condições de contorno necessárias para resolver a equação diferencial parcial acima:
  • Condições nas paredes (condições essenciais do enunciado): temperaturas fixas das placas
T(x,y=-h)=T_0,\qquad T(x,y=+h)=T_1\quad\text{para todo }x\ge0.
  • Condição de entrada (necessária para problema de escoamento termicamente em desenvolvimento): temperatura prescrita no inlet x=0
T(x=0,y)=T_{in}(y)\quad\text{(por exemplo }T_{in}=\text{const}\text{ se o fluido entra uniformemente)}.
  • Condição de saída (para resolver numericamente em domínio finito) normalmente usa-se condição convectiva ou \partial T/\partial x=0 numa saída distante, ou tomar domínio suficientemente longo e impor T\to condição limite desejada.
  • Condição de simetria: não aplicável se T_0\neq T_1. Se as placas tivessem mesma temperatura, poderia haver simetria no centro; aqui não.

Passo 6

Discussão de casos especiais (útil para prova e para escolher método de solução):
  • Caso estacionário e solução independente de x ( \partial T/\partial x=0): então a equação reduz a \partial^2 T/\partial y^2=0, cuja solução é linear em y:
T(y)=A y+B,
com A,B determinados por T(\pm h)=T_{0,1}. Essa solução independente de x só ocorre se o termo convectivo se anular (isto é, \partial T/\partial x=0), o que satisfaz a equação matemática mas depende das condições de entrada físicas.
  • Caso termicamente em desenvolvimento (mais comum): resolver a PDE
u(y)\frac{\partial T}{\partial x}=\alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}
com u(y) parabólica dada no Passo 3 e as condições de contorno do Passo 5. Métodos típicos: separação de variáveis com expansão em autofunções (Séries de Sturm–Liouville), transformadas (por exemplo transformada de Laplace em x) ou solução numérica (diferenças finitas, elementos finitos). A solução analítica padrão usa expansão em modos transversais e leva à série que descreve o desenvolvimento térmico.

Passo 7

Resumo prático do que é necessário montar para “achar a distribuição de temperatura” no problema pedido:
  • Perfil de velocidade plenamente desenvolvido: u(y)=U_{max}\left(1-\dfrac{y^2}{h^2}\right).
  • Equação de energia reduzia (steady, sem difusão axial): u(y)\dfrac{\partial T}{\partial x}=\alpha\dfrac{\partial^2 T}{\partial y^2}.
  • Condições de contorno nas paredes: T(x,\\ -h)=T_0 e T(x,+h)=T_1.
  • Condição de entrada: T(0,y)=T_{in}(y) (prescrita).
    Com esse conjunto (PDE + u(y) + BCs + condição inicial/inlet), o problema está completamente definido e pode ser resolvido analiticamente por série de autofunções ou numericamente.

Resposta

u(y)=U_{max}\left(1-\frac{y^2}{h^2}\right),\qquad U_{max}=-\frac{h^2}{2\mu}\frac{dp}{dx}
u(y)\frac{\partial T}{\partial x}=\alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2},\qquad \alpha=\frac{k}{\rho c_p}
T(x,y=-h)=T_0,\qquad T(x,y=+h)=T_1
T(x=0,y)=T_{in}(y)\quad\text{(condição de entrada, especificar para resolver)}çã
\text{(opcional na saída para domínio finito) } \frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{\text{out}}=0 \text{ ou condição convectiva adequada.}ííçã

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