Escreva as equações e condições necessárias para encontrar a distribuição de temperatura para um fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas paralelas fixa, uma com uma temperatura To e a outra com T1.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento plenamente desenvolvido entre duas placas paralelas, com as placas mantidas em temperaturas fixas e diferentes: uma placa com temperatura
) e a outra com temperatura
). O pedido é: escrever as equações e as condições necessárias para encontrar a distribuição de temperatura no fluido entre as placas.
Informações/condições fornecidas (retiradas do enunciado):
- Geometria: duas placas paralelas com separação total
) (ou seja, placas em
e ). - Temperaturas das paredes: ) e ) (constantes).
- Escoamento plenamente desenvolvido (velocidade dependente só de
, não de ). - Objetivo: equações e condições necessárias para obter ).
Passo 2
Escolhas/pressupostos padrão (não foi pedido detalhar, mas são necessários para escrever as equações):
- Fluido incompressível e newtoniano com propriedades constantes: massa específica ), capacidade térmica ), condutividade térmica ). Difusividade térmica ).
- Escoamento estacionário (estado permanente).
- Sem geração interna de calor volumétrica.
- Dissipação viscosa desprezível (ou tratada separadamente se for importante).
- Em escoamento plenamente desenvolvido hidrodinamicamente: velocidade axial
e componente transversal .
Esses pressupostos permitem escrever a equação de energia e usar o perfil de velocidade parabólico de Poiseuille para substituir
.
Passo 3
Derivando o perfil de velocidade (para usar na equação de energia): partir da equação de Navier–Stokes para escoamento unidimensional plenamente desenvolvido (pressão varia em
,
,
):
Integrando duas vezes e impondo condição de não deslizamento nas paredes
obtém-se a forma parabólica:
É comum reescrever em termos da velocidade máxima
no centro (
):
Aqui
) é a viscosidade dinâmica e
) é a queda de pressão (normalmente negativa para escoamento no sentido positivo
).
Passo 4
Escrevendo a equação de energia geral (estado estacionário, incompressível, sem geração interna, com termo convectivo e condutivo):
Com
e substituindo
e, assumindo que a condução axial é desprezível frente à convecção axial (válido para
), a equação reduzida fica:
Usando
) obtemos a forma usual:
Observação didática: cada termo significa:
-
: transporte convectivo da variação de temperatura ao longo do ducto; -
: difusão térmica no sentido transversal entre as placas.
Passo 5
Condições de contorno necessárias para resolver a equação diferencial parcial acima:
- Condições nas paredes (condições essenciais do enunciado): temperaturas fixas das placas
- Condição de entrada (necessária para problema de escoamento termicamente em desenvolvimento): temperatura prescrita no inlet
- Condição de saída (para resolver numericamente em domínio finito) normalmente usa-se condição convectiva ou
numa saída distante, ou tomar domínio suficientemente longo e impor condição limite desejada. - Condição de simetria: não aplicável se
. Se as placas tivessem mesma temperatura, poderia haver simetria no centro; aqui não.
Passo 6
Discussão de casos especiais (útil para prova e para escolher método de solução):
- Caso estacionário e solução independente de
( ): então a equação reduz a , cuja solução é linear em :
com
determinados por
. Essa solução independente de
só ocorre se o termo convectivo se anular (isto é,
), o que satisfaz a equação matemática mas depende das condições de entrada físicas.
- Caso termicamente em desenvolvimento (mais comum): resolver a PDE
com
parabólica dada no Passo 3 e as condições de contorno do Passo 5. Métodos típicos: separação de variáveis com expansão em autofunções (Séries de Sturm–Liouville), transformadas (por exemplo transformada de Laplace em
) ou solução numérica (diferenças finitas, elementos finitos). A solução analítica padrão usa expansão em modos transversais e leva à série que descreve o desenvolvimento térmico.
Passo 7
Resumo prático do que é necessário montar para “achar a distribuição de temperatura” no problema pedido:
- Perfil de velocidade plenamente desenvolvido:
. - Equação de energia reduzia (steady, sem difusão axial):
. - Condições de contorno nas paredes:
e . - Condição de entrada:
(prescrita).
Com esse conjunto (PDE ++ BCs + condição inicial/inlet), o problema está completamente definido e pode ser resolvido analiticamente por série de autofunções ou numericamente.