Uma linha de produção automatizada utiliza uma esteira acionada por motor
elétrico de 1000 W e 600 rpm , acoplado a uma caixa de redução por engrenagens.
A caixa possui dois estágios, cada um com um par de engrenagens de rendimento 80 \%, e o rendimento mecânico da esteira (roletes, mancais e atritos diversos) é de 83 \%.
A relação de transmissão total entre o motor e o cilindro de tração da esteira é igual a 10 (o motor gira 10 vezes mais rápido que o cilindro).
a) Calcule a rotação do cilindro de tração.
b) Determine a potência disponível no eixo do cilindro, considerando os rendimentos informados.
c) Explique como a escolha da relação de transmissão influencia a velocidade linear da esteira e a capacidade de tração (força disponível) no cilindro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • potência do motor: P_m=1000\\ \text{W}.
    • rotação do motor: N_m=600\\ \text{rpm}.
    • a caixa de redução tem dois estágios, cada estágio com rendimento \eta_{g1}=\eta_{g2}=80\%.
    • rendimento mecânico da esteira (rolamentos, roletes, atritos, etc.): \eta_{\text{esteira}}=83\%.
    • relação de transmissão total entre motor e cilindro: i_{\text{total}}=10 (isto é, o motor gira 10 vezes mais rápido que o cilindro).
  • O enunciado pede:
    a) calcular a rotação do cilindro de tração;
    b) determinar a potência disponível no eixo do cilindro, considerando os rendimentos informados;
    c) explicar como a escolha da relação de transmissão influencia a velocidade linear da esteira e a capacidade de tração (força disponível) no cilindro.

Passo 2

Calcular a rotação do cilindro usando a relação de transmissão.
  • Definição útil: a relação de transmissão i é dada por
i=\frac{N_{\text{motor}}}{N_{\text{cil}}}.
Aqui N_{\text{motor}}=N_m e N_{\text{cil}} é a rotação procurada do cilindro. Reorganizando,
N_{\text{cil}}=\frac{N_m}{i_{\text{total}}}.
  • Substituindo os valores dados:
N_{\text{cil}}=\frac{600}{10}=60\\ \text{rpm}.
Explicação didática: reduzir a rotação em uma razão 10 faz o cilindro girar 10 vezes mais devagar que o motor, portanto 60\\ \text{rpm}.

Passo 3

Calcular o rendimento total da caixa de engrenagens e a potência entregue ao eixo do cilindro após a caixa.
  • Quando há dois estágios em série e cada um tem rendimento \eta_{g1} e \eta_{g2}, o rendimento total da caixa é o produto:
\eta_{\text{caixa}}=\eta_{g1}\cdot\eta_{g2}.
  • Substituindo \eta_{g1}=\eta_{g2}=0{,}80:
\eta_{\text{caixa}}=0{,}80\times 0{,}80=0{,}64.
Isto significa que 64\% da potência do motor chega ao eixo do cilindro (o restante é perdido em calor, atrito, etc., nas engrenagens).
  • Potência no eixo do cilindro (após a caixa), que chamarei de P_{\text{cil, eixo}}, é:
P_{\text{cil, eixo}}=P_m\cdot\eta_{\text{caixa}}.
  • Substituindo:
P_{\text{cil, eixo}}=1000\times 0{,}64=640\\ \text{W}.
Didática extra (por que multiplicar): potência transmitida diminui pelas perdas; multiplicar pelo rendimento dá a fração que sobra.

Passo 4

Relacionar isso com a potência realmente disponível para vencer os atritos da esteira (ou seja, potência útil que efetivamente alimenta o movimento útil da correia).
  • A esteira tem rendimento mecânico \eta_{\text{esteira}}=0{,}83. Isso modela as perdas adicionais que ocorrem quando o cilindro transmite potência para mover a correia (rolamentos, atritos, etc.). A potência útil disponível para vencer as resistências da esteira é
P_{\text{útil}}=P_{\text{cil, eixo}}\cdot \eta_{\text{esteira}}.ú
  • Substituindo os valores:
P_{\text{útil}}=640\times 0{,}83=531{,}2\\ \text{W}.ú
Interpretação física: 640\\ \text{W} é a potência que o eixo do cilindro fornece depois das perdas nas engrenagens; dos 640\\ \text{W} apenas 531{,}2\\ \text{W} ficam disponíveis para efetivamente mover a correia (restante perdido em roletes, mancais, atrito, etc.).

Passo 5

Mostrar como a relação de transmissão afeta velocidade linear da esteira e força disponível (intuitivo e por fórmulas).
  • Relação entre rotação do cilindro e velocidade linear da correia:
    • Se R é o raio do cilindro, a velocidade angular do cilindro em rad/s é \omega_{\text{cil}}=\dfrac{2\pi N_{\text{cil}}}{60}.
    • A velocidade linear da correia é
    v=\omega_{\text{cil}}\cdot R=\frac{2\pi N_{\text{cil}}}{60}\,R.
    • Como N_{\text{cil}}=\dfrac{N_m}{i_{\text{total}}}, temos
    v=\frac{2\pi N_m}{60}\cdot\frac{R}{i_{\text{total}}}.
    • Conclusão: para dado motor e dado raio R, aumentar i_{\text{total}} (mais redução) diminui N_{\text{cil}} e, portanto, diminui a velocidade linear v da correia. Inversamente, reduzir i_{\text{total}} (menos redução) aumenta v.
  • Relação entre relação de transmissão e força (torque → força):
    • Torque no motor: \displaystyle T_m=\frac{P_m}{\omega_m}, com \omega_m=\dfrac{2\pi N_m}{60}.
    • Em engrenagens ideais, torque no cilindro aumentaria em i_{\text{total}} vezes: T_{\text{cil, ideal}}=T_m\cdot i_{\text{total}}.
    • Com rendimento da caixa \eta_{\text{caixa}}, o torque efetivo no cilindro é aproximadamente
    T_{\text{cil}}=T_m\cdot i_{\text{total}}\cdot \eta_{\text{caixa}}.
    • A força tangencial disponível na periferia do cilindro (capacidade de tração) é
    F=\frac{T_{\text{cil}}}{R}.
    • Portanto, aumentar i_{\text{total}} aumenta T_{\text{cil}} (mais torque → mais força de tração), ao mesmo tempo que reduz N_{\text{cil}} e, consequentemente, reduz a velocidade linear v. Existe um trade-off: mais redução → mais força, menos velocidade; menos redução → mais velocidade, menos força. A potência (produto torque × velocidade angular) permanece limitada pela potência do motor e pelos rendimentos, ou seja, aumentar muito i dá mais torque mas a uma rotação menor, mantendo (aproximadamente) a potência transmitida (menos perdas).
  • Observação prática: escolhe-se i_{\text{total}} para assegurar que a velocidade da correia esteja na faixa desejada e que o torque/força sejam suficientes para vencer as resistências (arraste, inclinações, acelerações, carga) sem sobrecarregar o motor.

Passo 6

Cálculo numérico rápido de torque para exemplificar (opcional mas didático).
  • Primeiro angular do motor:
\omega_m=\frac{2\pi N_m}{60}=\frac{2\pi\cdot 600}{60}=20\pi\\ \text{rad/s}\approx 62{,}832\\ \text{rad/s}.
  • Torque do motor:
T_m=\frac{P_m}{\omega_m}=\frac{1000}{20\pi}\approx 15{,}915\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Torque no cilindro após redução e perdas da caixa:
T_{\text{cil}}=T_m\cdot i_{\text{total}}\cdot \eta_{\text{caixa}}\approx 15{,}915\times 10\times 0{,}64\approx 101{,}86\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Se considerar também o rendimento da esteira para obter o torque efetivo disponível para vencer as resistências, multiplicar por \eta_{\text{esteira}}:
T_{\text{útil}}=T_{\text{cil}}\cdot \eta_{\text{esteira}}\approx 101{,}86\times 0{,}83\approx 84{,}57\\ \text{N}\cdot\text{m}.ú
  • Com R conhecido, a força tangencial seria F=T/R. Aqui R não foi fornecido, logo não dá para calcular F numericamente sem esse dado.

Resposta

a) N_{\text{cil}}=60\\ \text{rpm}.\n
b) Potência no eixo do cilindro (após a caixa de redução): P_{\text{cil, eixo}}=640\\ \text{W}. Potência útil disponível para vencer os atritos da esteira (após perdas da esteira): P_{\text{útil}}=531{,}2\\ \text{W}ú.\n
c) Aumentar a razão de transmissão i (mais redução) reduz a rotação do cilindro e, portanto, reduz a velocidade linear da correia v (porque v=\dfrac{2\pi N_m}{60}\cdot\dfrac{R}{i}), enquanto aumenta o torque no cilindro e, consequentemente, a força tangencial disponível ( T_{\text{cil}}\approx T_m\cdot i\cdot\eta_{\text{caixa}} e F=T_{\text{cil}}/R). Ou seja: mais redução → mais força, menos velocidade; menos redução → mais velocidade, menos força (a potência disponível é limitada pela potência do motor e pelos rendimentos).

Exercícios relacionados