Uma linha de produção automatizada utiliza uma esteira acionada por motor
elétrico de 1000 W e 600 rpm , acoplado a uma caixa de redução por engrenagens.
A caixa possui dois estágios, cada um com um par de engrenagens de rendimento
, e o rendimento mecânico da esteira (roletes, mancais e atritos diversos) é de
.
A relação de transmissão total entre o motor e o cilindro de tração da esteira é igual a 10 (o motor gira 10 vezes mais rápido que o cilindro).
a) Calcule a rotação do cilindro de tração.
b) Determine a potência disponível no eixo do cilindro, considerando os rendimentos informados.
c) Explique como a escolha da relação de transmissão influencia a velocidade linear da esteira e a capacidade de tração (força disponível) no cilindro.
elétrico de 1000 W e 600 rpm , acoplado a uma caixa de redução por engrenagens.
A relação de transmissão total entre o motor e o cilindro de tração da esteira é igual a 10 (o motor gira 10 vezes mais rápido que o cilindro).
a) Calcule a rotação do cilindro de tração.
b) Determine a potência disponível no eixo do cilindro, considerando os rendimentos informados.
c) Explique como a escolha da relação de transmissão influencia a velocidade linear da esteira e a capacidade de tração (força disponível) no cilindro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- Dados fornecidos:
- potência do motor:
. - rotação do motor:
. - a caixa de redução tem dois estágios, cada estágio com rendimento
. - rendimento mecânico da esteira (rolamentos, roletes, atritos, etc.):
. - relação de transmissão total entre motor e cilindro:
(isto é, o motor gira 10 vezes mais rápido que o cilindro).
- potência do motor:
- O enunciado pede:
a) calcular a rotação do cilindro de tração;
b) determinar a potência disponível no eixo do cilindro, considerando os rendimentos informados;
c) explicar como a escolha da relação de transmissão influencia a velocidade linear da esteira e a capacidade de tração (força disponível) no cilindro.
Passo 2
Calcular a rotação do cilindro usando a relação de transmissão.
- Definição útil: a relação de transmissão
é dada por
Aqui
e
é a rotação procurada do cilindro. Reorganizando,
- Substituindo os valores dados:
Explicação didática: reduzir a rotação em uma razão
faz o cilindro girar 10 vezes mais devagar que o motor, portanto
.
Passo 3
Calcular o rendimento total da caixa de engrenagens e a potência entregue ao eixo do cilindro após a caixa.
- Quando há dois estágios em série e cada um tem rendimento
e , o rendimento total da caixa é o produto:
- Substituindo
:
Isto significa que
da potência do motor chega ao eixo do cilindro (o restante é perdido em calor, atrito, etc., nas engrenagens).
- Potência no eixo do cilindro (após a caixa), que chamarei de
, é:
- Substituindo:
Didática extra (por que multiplicar): potência transmitida diminui pelas perdas; multiplicar pelo rendimento dá a fração que sobra.
Passo 4
Relacionar isso com a potência realmente disponível para vencer os atritos da esteira (ou seja, potência útil que efetivamente alimenta o movimento útil da correia).
- A esteira tem rendimento mecânico
. Isso modela as perdas adicionais que ocorrem quando o cilindro transmite potência para mover a correia (rolamentos, atritos, etc.). A potência útil disponível para vencer as resistências da esteira é
- Substituindo os valores:
Interpretação física:
é a potência que o eixo do cilindro fornece depois das perdas nas engrenagens; dos
apenas
ficam disponíveis para efetivamente mover a correia (restante perdido em roletes, mancais, atrito, etc.).
Passo 5
Mostrar como a relação de transmissão afeta velocidade linear da esteira e força disponível (intuitivo e por fórmulas).
-
Relação entre rotação do cilindro e velocidade linear da correia:
- Se
é o raio do cilindro, a velocidade angular do cilindro em rad/s é . - A velocidade linear da correia é
- Como
, temos
- Conclusão: para dado motor e dado raio
, aumentar (mais redução) diminui e, portanto, diminui a velocidade linear da correia. Inversamente, reduzir (menos redução) aumenta .
- Se
-
Relação entre relação de transmissão e força (torque → força):
- Torque no motor:
, com . - Em engrenagens ideais, torque no cilindro aumentaria em
vezes: . - Com rendimento da caixa
, o torque efetivo no cilindro é aproximadamente
- A força tangencial disponível na periferia do cilindro (capacidade de tração) é
- Portanto, aumentar
aumenta (mais torque → mais força de tração), ao mesmo tempo que reduz e, consequentemente, reduz a velocidade linear . Existe um trade-off: mais redução → mais força, menos velocidade; menos redução → mais velocidade, menos força. A potência (produto torque × velocidade angular) permanece limitada pela potência do motor e pelos rendimentos, ou seja, aumentar muito dá mais torque mas a uma rotação menor, mantendo (aproximadamente) a potência transmitida (menos perdas).
- Torque no motor:
-
Observação prática: escolhe-se
para assegurar que a velocidade da correia esteja na faixa desejada e que o torque/força sejam suficientes para vencer as resistências (arraste, inclinações, acelerações, carga) sem sobrecarregar o motor.
Passo 6
Cálculo numérico rápido de torque para exemplificar (opcional mas didático).
- Primeiro angular do motor:
- Torque do motor:
- Torque no cilindro após redução e perdas da caixa:
- Se considerar também o rendimento da esteira para obter o torque efetivo disponível para vencer as resistências, multiplicar por
:
- Com
conhecido, a força tangencial seria . Aqui não foi fornecido, logo não dá para calcular numericamente sem esse dado.
Resposta
a)
.\n
b) Potência no eixo do cilindro (após a caixa de redução): . Potência útil disponível para vencer os atritos da esteira (após perdas da esteira):
.\n
c) Aumentar a razão de transmissão (mais redução) reduz a rotação do cilindro e, portanto, reduz a velocidade linear da correia
(porque
), enquanto aumenta o torque no cilindro e, consequentemente, a força tangencial disponível (
e
). Ou seja: mais redução → mais força, menos velocidade; menos redução → mais velocidade, menos força (a potência disponível é limitada pela potência do motor e pelos rendimentos).
b) Potência no eixo do cilindro (após a caixa de redução):
c) Aumentar a razão de transmissão