Encontre uma equação diferencial para determinar concentração de poluentes no solo, onde C é a concentração do poluente
, t o tempo em
a difusividade.
Com uma concentração inicial de zero em todos os lugares, exceto na superfície adjacente ao solo. A superfície do solo tem uma concentração fixa de
.
Avalie a profundidade para uma profundidade de 0.5 m da superfície do solo. onde foi posicionada uma membrana impermeável que não permite a difusão do poluente a partir dessa posição.
Apresenta a equação e as condições de contorno a serem usadas no problema para resolver ele.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei todos os dados do enunciado.)
- Grandeza a determinar: concentração do poluente
em . - Tempo:
em horas ( ). - Difusividade:
. - Geometria e domínio: uma coluna de solo unidimensional, com a superfície na profundidade
e uma membrana impermeável posicionada à profundidade . Ou seja, domínio espacial com . - Condições iniciais e de contorno dadas:
- Concentração inicial nula em todo o solo, exceto na superfície adjacente: interior inicial
para . - A superfície do solo (em
) mantém concentração fixa para . - A membrana impermeável em
impede fluxo do poluente (condição de não-fluxo).
- Concentração inicial nula em todo o solo, exceto na superfície adjacente: interior inicial
- O objetivo pedido: apresentar a equação diferencial (PDE) que governa a evolução de
e as condições de contorno/inicial a serem usadas para resolver o problema.
Passo 2
Derivando a equação de difusão (ideia física e fórmulas usadas).
- Intuição física: a difusão descreve como o poluente se espalha devido a gradientes de concentração. A lei de Fick relaciona o fluxo ao gradiente de concentração; a conservação de massa transforma o fluxo em variação temporal da concentração.
- Fick (primeira lei): o fluxo de massa por unidade de área
(unidade ) é proporcional ao gradiente espacial de : Aqui é a difusividade (aqui ), é a profundidade medida a partir da superfície ( ) e é o tempo. - Conservação de massa (equação de continuidade sem fontes/sumidouros): a variação temporal da concentração em um ponto é dada pela perda/ganho de massa por diferença de fluxo:
- Substituindo
pela lei de Fick obtemos a equação de difusão unidimensional (equação de calor): válida para e .
Explicação das variáveis na equação:
-
é a taxa de variação da concentração no tempo, unidade . -
é a curvatura espacial da concentração (como muda o gradiente). -
controla a rapidez com que a concentração se alisa pela difusão.
Passo 3
Precisar o domínio e as condições iniciais/bordo concretas (tradução física → condições matemáticas).
- Domínio espacial:
com . - Condição inicial (dados do enunciado): concentração nula no interior ao tempo inicial:
Observação: a superfície é um contorno com valor fixo, então é natural considerar (a condição de contorno em vale desde ). - Condição de contorno na superfície (
): concentração mantida fixa pelo enunciado (condição de Dirichlet): Isso significa que a superfície é um reservatório com concentração constante. - Condição de contorno na membrana impermeável em
: membrana não permite difusão, logo o fluxo é zero ali. Como , a condição de não-fluxo (Neumann) é
Passo 4
Resumo das equações e das condições (forma final a ser usada para resolver o problema).
- Equação diferencial (PDE) de evolução:
- Condição inicial:
e coerência no contorno inicial . - Condições de contorno:
Com
e
.
Passo 5
Comentário prático sobre como resolver (passos de solução que costumam cair em prova) — método recomendado e forma explícita da solução por séries.
- Método conveniente: transformar o problema para ter condições de contorno homogêneas e aplicar separação de variáveis / expansão em autovalores.
- Uma transformação simples: definir
. Então satisfaz a mesma PDE com coeficientes iguais e condições: - Separação de variáveis leva a autovalores
e modos espaciais com as condições e . Os autovalores vêm da equação , ou seja e . - A série solução (reconstruindo
) pode ser escrita explicitamente. Para geral: com No nosso caso , o que simplifica e dá - Para
a simplificação é ainda maior: . Calculando os coeficientes resulta na forma válida para (note que aqui está em metros). Esta é a solução por séries que satisfaz as condições ditas (a derivação completa passo-a-passo da expansão é um procedimento padrão de separação de variáveis e ortogonalidade dos senos).