Encontre uma equação diferencial para determinar concentração de poluentes no solo, onde C é a concentração do poluente \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, t o tempo em \mathrm{h}, \mathrm{D}=1 \mathrm{e}-4 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{h} a difusividade.
Com uma concentração inicial de zero em todos os lugares, exceto na superfície adjacente ao solo. A superfície do solo tem uma concentração fixa de 1.0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Avalie a profundidade para uma profundidade de 0.5 m da superfície do solo. onde foi posicionada uma membrana impermeável que não permite a difusão do poluente a partir dessa posição.
Apresenta a equação e as condições de contorno a serem usadas no problema para resolver ele.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei todos os dados do enunciado.)
  • Grandeza a determinar: concentração do poluente C em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Tempo: t em horas ( \mathrm{h}).
  • Difusividade: D = 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{h}.
  • Geometria e domínio: uma coluna de solo unidimensional, com a superfície na profundidade x=0 e uma membrana impermeável posicionada à profundidade x=0{,}5\\ \mathrm{m}. Ou seja, domínio espacial 0 \le x \le L com L=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Condições iniciais e de contorno dadas:
    • Concentração inicial nula em todo o solo, exceto na superfície adjacente: interior inicial C(x,0)=0 para 0<x\le L.
    • A superfície do solo (em x=0) mantém concentração fixa C(0,t)=1{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 para t\ge0.
    • A membrana impermeável em x=L impede fluxo do poluente (condição de não-fluxo).
  • O objetivo pedido: apresentar a equação diferencial (PDE) que governa a evolução de C e as condições de contorno/inicial a serem usadas para resolver o problema.

Passo 2

Derivando a equação de difusão (ideia física e fórmulas usadas).
  • Intuição física: a difusão descreve como o poluente se espalha devido a gradientes de concentração. A lei de Fick relaciona o fluxo ao gradiente de concentração; a conservação de massa transforma o fluxo em variação temporal da concentração.
  • Fick (primeira lei): o fluxo de massa por unidade de área J (unidade \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h})) é proporcional ao gradiente espacial de C: J(x,t) = -D\,\frac{\partial C}{\partial x}(x,t).Aqui D é a difusividade (aqui 1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{h}), x é a profundidade medida a partir da superfície ( x=0) e t é o tempo.
  • Conservação de massa (equação de continuidade sem fontes/sumidouros): a variação temporal da concentração em um ponto é dada pela perda/ganho de massa por diferença de fluxo: \frac{\partial C}{\partial t}(x,t) = -\frac{\partial J}{\partial x}(x,t).
  • Substituindo J pela lei de Fick obtemos a equação de difusão unidimensional (equação de calor): \frac{\partial C}{\partial t}(x,t) = D\\ \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(x,t),válida para 0<x<L e t>0.
Explicação das variáveis na equação:
  • \frac{\partial C}{\partial t} é a taxa de variação da concentração no tempo, unidade \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}).
  • \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} é a curvatura espacial da concentração (como muda o gradiente).
  • D controla a rapidez com que a concentração se alisa pela difusão.

Passo 3

Precisar o domínio e as condições iniciais/bordo concretas (tradução física → condições matemáticas).
  • Domínio espacial: 0 \le x \le L com L=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Condição inicial (dados do enunciado): concentração nula no interior ao tempo inicial: C(x,0)=0,\qquad 0<x\le L.Observação: a superfície é um contorno com valor fixo, então é natural considerar C(0,0)=1 (a condição de contorno em x=0 vale desde t=0).
  • Condição de contorno na superfície ( x=0): concentração mantida fixa pelo enunciado (condição de Dirichlet): C(0,t)=1{,}0\quad\text{(kg/m}^3\text{)},\qquad t\ge0.Isso significa que a superfície é um reservatório com concentração constante.
  • Condição de contorno na membrana impermeável em x=L: membrana não permite difusão, logo o fluxo é zero ali. Como J=-D\,\partial C/\partial x, a condição de não-fluxo (Neumann) é J(L,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial C}{\partial x}(L,t)=0,\qquad t\ge0.

Passo 4

Resumo das equações e das condições (forma final a ser usada para resolver o problema).
  • Equação diferencial (PDE) de evolução: \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)=D\,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(x,t),\qquad 0<x<L,\\ t>0.
  • Condição inicial: C(x,0)=0,\qquad 0<x\le L.e coerência no contorno inicial C(0,0)=1.
  • Condições de contorno: C(0,t)=1,\qquad t\ge0,
\frac{\partial C}{\partial x}(L,t)=0,\qquad t\ge0.
Com L=0{,}5\\ \mathrm{m} e D=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{h}.

Passo 5

Comentário prático sobre como resolver (passos de solução que costumam cair em prova) — método recomendado e forma explícita da solução por séries.
  • Método conveniente: transformar o problema para ter condições de contorno homogêneas e aplicar separação de variáveis / expansão em autovalores.
  • Uma transformação simples: definir u(x,t)=C(x,t)-1. Então u satisfaz a mesma PDE com coeficientes iguais e condições: \frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\qquad u(0,t)=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0,\qquad u(x,0)=-1.
  • Separação de variáveis leva a autovalores \lambda_n e modos espaciais \sin(k_n x) com as condições \varphi(0)=0 e \varphi'(L)=0. Os autovalores vêm da equação \cos(k_n L)=0, ou seja k_n = \frac{(2n+1)\pi}{2L},\qquad n=0,1,2,\dotse \lambda_n = k_n^2.
  • A série solução (reconstruindo C) pode ser escrita explicitamente. Para L geral: C(x,t)=1+\sum_{n=0}^{\infty} b_n\sin(k_n x)\,e^{-Dk_n^2 t},com k_n=\frac{(2n+1)\pi}{2L},\qquad b_n=-\frac{2}{L\,k_n}\int_0^L \sin(k_n x)\,dx = -\frac{2}{L\,k_n}\cdot\frac{1-\cos(k_n L)}{k_n}.No nosso caso \cos(k_n L)=0, o que simplifica e dá b_n=-\frac{2}{L\,k_n}\cdot\frac{1}{k_n} \quad\text{(mas faz-se a forma direta no cálculo; uma forma final simplificada é mostrada abaixo)}.áé
  • Para L=0{,}5\\ \mathrm{m} a simplificação é ainda maior: k_n=(2n+1)\pi. Calculando os coeficientes resulta na forma C(x,t)=1-4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)\pi}\,\sin\big((2n+1)\pi x\big)\,e^{-D(2n+1)^2\pi^2 t},válida para 0\le x\le 0{,}5 (note que aqui x está em metros). Esta é a solução por séries que satisfaz as condições ditas (a derivação completa passo-a-passo da expansão é um procedimento padrão de separação de variáveis e ortogonalidade dos senos).

Resposta

\frac{\partial C}{\partial t}(x,t)=D\,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(x,t),\qquad 0<x<0{,}5,\\ t>0,
C(x,0)=0,\qquad 0<x\le 0{,}5,
C(0,t)=1,\qquad t\ge0,
\frac{\partial C}{\partial x}\big(0{,}5,t\big)=0,\qquad t\ge0.

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