(a) Escreva as equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo em termos de
e
, assumindo o fator tempo como
. (b) Escreva a forma pontual das equações de Maxwell, em coordenadas cartesianas na forma de oito equações escalares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever as Equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo usando os campos elétrico e magnético na forma fasorial
e
, considerando o fator tempo como
. Depois, devemos escrever a forma pontual dessas equações em coordenadas cartesianas como oito equações escalares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as Equações de Maxwell, entender o que significa um meio linear e homogêneo, e saber como trabalhar com representações fasoriais dos campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das Equações de Maxwell no domínio do tempo para um meio linear e homogêneo. Essas equações relacionam os campos elétrico
e magnético
com as densidades de carga elétrica
e de corrente elétrica
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com campos fasoriais, que assumem a forma
, podemos transformar as Equações de Maxwell do domínio do tempo para o domínio da frequência. Isso simplifica as equações, especialmente para meios lineares e homogêneos.
Passo 4
Em um meio linear e homogêneo, as relações constitutivas são dadas por:
onde
é a permissividade elétrica e
é a permeabilidade magnética do meio.
Passo 5
Aplicando a transformação fasorial, onde
e
, as Equações de Maxwell no domínio da frequência se tornam:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 6
Substituindo as relações constitutivas
e
nas Equa�es de Maxwell, obtemos:
- Lei de Gauss para o campo elétrico:
- Lei de Gauss para o campo magnético:
- Lei de Faraday:
- Lei de Ampère-Maxwell:
Passo 7
Agora, para a parte (b), vamos escrever essas equações em coordenadas cartesianas. Em 3D, as operações de divergente e rotacional podem ser expressas em termos das derivadas parciais em relação às coordenadas
,
e
.
Passo 8
As Equações de Maxwell em coordenadas cartesianas ficam assim:
- Lei de Gauss para
:
- Lei de Gauss para
:
- Lei de Faraday para a componente
:
- Lei de Faraday para a componente
:
- Lei de Faraday para a componente
:
- Lei de Ampère-Maxwell para a componente
:
- Lei de Ampère-Maxwell para a componente
:
- Lei de Ampère-Maxwell para a componente
:
Resposta
As Equações de Maxwell para um meio linear e homogêneo na forma fasorial são:
E a forma pontual das Equações de Maxwell em coordenadas cartesianas é composta por oito equações escalares, conforme detalhado no Passo 8 acima.