Dado um campo magnético na forma:
No espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção e sentido genérico
ao longo de um caminho fechado que possui o seguinte domínio:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo magnético dado por:
O conteúdo principal aqui é Eletromagnetismo, especificamente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética. Vamos precisar calcular a força eletromotriz (fem) que se desenvolve na direção
ao longo de um caminho fechado definido em duas partes: a) um retângulo com
e
, e b) um círculo completo com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida em um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através da superfície delimitada por esse caminho:
Onde
é o fluxo magnético.
Passo 3
Para encontrar o fluxo magnético
, usamos a definição:
No espaço livre, relacionamos a intensidade do campo magnético
com o campo de indução magnética
pela relação:
Onde
é a permeabilidade do vácuo (
).
Passo 4
Vamos calcular a fem para a parte a) do exercício, onde o caminho é um retângulo com
e
.
Primeiro, identificamos a área do retângulo:
Como o campo
está na direção
e a área está no plano xy, temos que
, onde
.
Passo 5
Expressando
:
Assim, o fluxo magnético é:
Como a função não depende de
, a integral em
é simplesmente 1:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Avaliando de 0 a 1:
Passo 7
Agora, derivamos o fluxo em relação ao tempo para encontrar a fem:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo
:
Calculando os fatores numéricos:
Simplificando as potências de 10:
Continuando:
Resposta
A força eletromotriz desenvolvida na direção
ao longo do caminho fechado definido no item a) é: