8- Escreva e expressão matemática da primeira lei da termodinâmica.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a expressão matemática da primeira lei da termodinâmica.
Informações relevantes que já temos (implícitas na pergunta): a primeira lei é a forma da conservação da energia aplicada a um sistema termodinâmico, envolvendo energia interna, calor e trabalho. O objetivo é apresentar a fórmula e explicar o significado dos símbolos e as convenções de sinal.

Passo 2

Apresentando a forma básica e imediata da primeira lei: para um sistema fechado (sem troca de massa) a variação da energia interna é igual ao calor recebido pelo sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Escrevendo isso matematicamente:
\Delta U = Q - W
Agora explico cada símbolo com calma:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema entre dois estados (é uma função de estado; depende apenas dos estados inicial e final).
  • Q é a quantidade de calor fornecida ao sistema (se calor entra, Q>0; se sai, Q<0).
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o exterior (se o sistema realiza trabalho, W>0; se o trabalho é feito sobre o sistema, W<0).
    Observação importante sobre convenção de sinais: a fórmula acima usa a convenção clássica da física onde W é trabalho feito pelo sistema. Algumas áreas (certos livros de engenharia) usam W como trabalho sobre o sistema; nesse caso a equação vira \Delta U = Q + W. Aqui vou manter a primeira convenção ( \Delta U = Q - W) porque é a mais usada em muitos cursos.

Passo 3

Forma diferencial e a ideia de diferenciais exatos/inexatos: quando tratamos variações infinitesimais, escrevemos a lei como
dU = \delta Q - \delta W.
Pequena explicação didática:
  • dU é um diferencial exato (energia interna é função de estado).
  • \delta Q e \delta W são diferenciais inexatos (calor e trabalho dependem do caminho, não são funções de estado). Por isso usa-se \delta para indicar que não existe uma função Q(U,V,\dots) tal que dQ seja exata; o calor e o trabalho dependem do processo.

Passo 4

Forma para trabalho mecânico de borda (processo quasiestático): se o único trabalho for o trabalho de pressão-volume (trabalho de fronteira) e o processo for quasiestático (reversível infinitesimalmente), então
\delta W = P\,dV,
onde \,P é a pressão do sistema e dV a variação infinitesimal de volume. Substituindo na lei diferencial:
dU = \delta Q - P\,dV.
Condições em que essa expressão vale: quando o trabalho considerado é apenas o \!P\,dV (ou seja, sem trabalho elétrico, cinético, potencial etc.) e o processo é suficientemente lento para que a pressão do sistema esteja bem definida.

Passo 5

Consequências úteis e exemplos rápidos para fixar:
  • Processo isocórico ( dV=0): então \delta W=0 e a primeira lei dá \Delta U = Q. Isso significa: se o volume não varia, todo calor fornecido muda a energia interna.
  • Processo adiabático ( Q=0): então \Delta U = -W. Se o sistema realiza trabalho ( W>0), sua energia interna diminui.
  • Processo isotérmico para gás ideal ( \Delta U=0): então Q=W. Todo calor recebido é convertido em trabalho (para um gás ideal, energia interna depende só da temperatura).

Passo 6

Relação com capacidades caloríficas para gás ideal (útil em exercícios): para um gás ideal monoatômico/diatômico em regimes onde U depende só de T,
dU = n C_V\, dT,
onde n é o número de mols e C_V o calor molar a volume constante. Combinando com a forma dU = \delta Q - P\,dV obtemos, para um gás ideal:
\delta Q = n C_V\, dT + P\,dV.
Usando a equação de estado \,P V = n R T, essa relação permite calcular Q para processos dados.

Resposta

\Delta U = Q - W
dU = \delta Q - \delta W
dU = \delta Q - P\,dV
dU = n C_V\, dT

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