8- Escreva e expressão matemática da primeira lei da termodinâmica.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a expressão matemática da primeira lei da termodinâmica.
Informações relevantes que já temos (implícitas na pergunta): a primeira lei é a forma da conservação da energia aplicada a um sistema termodinâmico, envolvendo energia interna, calor e trabalho. O objetivo é apresentar a fórmula e explicar o significado dos símbolos e as convenções de sinal.
Informações relevantes que já temos (implícitas na pergunta): a primeira lei é a forma da conservação da energia aplicada a um sistema termodinâmico, envolvendo energia interna, calor e trabalho. O objetivo é apresentar a fórmula e explicar o significado dos símbolos e as convenções de sinal.
Passo 2
Apresentando a forma básica e imediata da primeira lei: para um sistema fechado (sem troca de massa) a variação da energia interna é igual ao calor recebido pelo sistema menos o trabalho realizado pelo sistema. Escrevendo isso matematicamente:
Agora explico cada símbolo com calma:
-
é a variação da energia interna do sistema entre dois estados (é uma função de estado; depende apenas dos estados inicial e final). -
é a quantidade de calor fornecida ao sistema (se calor entra, ; se sai, ). -
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o exterior (se o sistema realiza trabalho, ; se o trabalho é feito sobre o sistema, ).
Observação importante sobre convenção de sinais: a fórmula acima usa a convenção clássica da física ondeé trabalho feito pelo sistema. Algumas áreas (certos livros de engenharia) usam como trabalho sobre o sistema; nesse caso a equação vira . Aqui vou manter a primeira convenção ( ) porque é a mais usada em muitos cursos.
Passo 3
Forma diferencial e a ideia de diferenciais exatos/inexatos: quando tratamos variações infinitesimais, escrevemos a lei como
Pequena explicação didática:
-
é um diferencial exato (energia interna é função de estado). -
e são diferenciais inexatos (calor e trabalho dependem do caminho, não são funções de estado). Por isso usa-se para indicar que não existe uma função tal que seja exata; o calor e o trabalho dependem do processo.
Passo 4
Forma para trabalho mecânico de borda (processo quasiestático): se o único trabalho for o trabalho de pressão-volume (trabalho de fronteira) e o processo for quasiestático (reversível infinitesimalmente), então
onde
é a pressão do sistema e
a variação infinitesimal de volume. Substituindo na lei diferencial:
Condições em que essa expressão vale: quando o trabalho considerado é apenas o
(ou seja, sem trabalho elétrico, cinético, potencial etc.) e o processo é suficientemente lento para que a pressão do sistema esteja bem definida.
Passo 5
Consequências úteis e exemplos rápidos para fixar:
- Processo isocórico (
): então e a primeira lei dá . Isso significa: se o volume não varia, todo calor fornecido muda a energia interna. - Processo adiabático (
): então . Se o sistema realiza trabalho ( ), sua energia interna diminui. - Processo isotérmico para gás ideal (
): então . Todo calor recebido é convertido em trabalho (para um gás ideal, energia interna depende só da temperatura).
Passo 6
Relação com capacidades caloríficas para gás ideal (útil em exercícios): para um gás ideal monoatômico/diatômico em regimes onde
depende só de
,
onde
é o número de mols e
o calor molar a volume constante. Combinando com a forma
obtemos, para um gás ideal:
Usando a equação de estado
, essa relação permite calcular
para processos dados.